Podrobny sylabus F165: Matematicka analyza pro fyziky, 1. rocnik, jak byla prednasena ve sk. r. 1994/95
Zimni semestr 1994/95
[ Zacatek sylabu ] [ Zimni semestr ] [ Letni semestr ] [ Studijni literatura ]
0. Uvod a opakovani
- Mnoziny a operace s nimi; vyroky a logika; kvantifikatory.
1. Realna cisla a posloupnosti
- 1.1. Cisla a ciselne mnoziny
- Ciselne mnoziny (N, Q, R, C) - zavedeny intuitivne, ne axiomaticky; naznaceno, jak by slo rigorozne zavest realna cisla; nektere vlastnosti racionalnich cisel; technika dukazu sporem (odmocnina ze 2 neni racionalni).
- 1.2. Axiom o supremu
- Mnozina cisel omezena shora, zdola; horni a dolni zavora; supremum (= nejmensi horni zavora); axiom o supremu: neprazdna shora omezena mnozina realnych cisel ma vzdy supremum.
- Infimum, jeho existence pro neprazdnou, zdola omezenou mnozinu; definice infima a suprema pro neomezene a prazdne mnoziny, diskuse; jednoznacnost suprema a infima.
- 1.3. Zobrazeni
- Definice zobrazeni, definicni obor, obor hodnot; obraz a vzor mnoziny; proste a inverzni zobrazeni; slozene zobrazeni.
- 1.4. Posloupnosti realnych cisel
- Posloupnost rostouci, klesajici, nerostouci, neklesajici, monotonni a ryze monotonni, omezena; limita posloupnosti: vlastni a nevlastni; konvergentni a divergentni poslupnost.
- Zakladni vlastnosti: konvergentni posloupnost je omezena; vety o souctu, soucinu, podilu limit; diskuse i pro nevlastni limity, definice usporadani, souctu, soucinu, podilu v R* (s bodem "nekonecno"); dalsi vety: omezena krat jdouci k nule jde k nule; lemma o policajtech.
- Priklady nekterych posloupnosti, chovani nerovnosti pri limitnim prechodu; monotonni posloupnost ma vzdy limitu (omezena vlastni, neomezena nevlastni); priklad: posloupnosti majici za limitu cislo, jez nazvu e. Cislo e, jeho vlastnosti: je iracionalni (s dukazem) a transcendentni (bez dukazu).
- Vybrana posloupnost (podposloupnost); ma-li posloupnost limitu, ma i kazda vybrana stejnou limitu; hromadne body posloupnosti; veta Bolzano-Weierstrassova: z kazde omezene posloupnosti lze vybrat konvergentni podposloupnost. B-W pro pripad neomezene posloupnosti.
- Limes superior a limes inferior a jejich vztah k limite a mnozine hromadnych bodu; racionalni cisla lze srovnat do posloupnosti; spocetne a nespocetne mnoziny (R -- bez dukazu); cauchyovska posloupnost; veta Bolzano-Cauchyova.
2. Realne funkce realne promenne
- 2.1. Zakladni vlastnosti funkci
- Monotonie a ryzi monotonie, omezenost funkci; srovnavani funkci, rozdily mezi nerovnosti pro realna cisla a realne funkce (existuji nesrovnatelne funkce); licha, suda, periodicka funkce; ryze monotonni funkce je prosta.
- 2.2. Vlastni limita ve vlastnim bode, spojitost funkce v bode
- Intervaly na realne ose; okoli bodu; vlastni limita ve vlastnim bode, limita zprava, zleva; zakladni vlastnosti: vlastni limita ve vlastnim bode implikuje lokalni omezenost; dalsi lokalni vlastnosti.
- Veta o souctu, rozdilu, nasobku, podilu pro vlastni limity; vety: nerovnosti mezi limitami, omezena krat jdouci k nule, o policajtech, o absolutni hodnote.
- Spojitost funkce v bode; souvislost s limitou v bode; dusledek: spojitost souctu, rozdilu, nasobku, podilu (v bodech nenulovosti jmenovatele), tedy: polynomy jsou spojite, jejich podily jsou spojite tam, kde je jmenovatel nenulovy; klasifikace bodu nespojitosti; veta o limite slozene funkce, o spojitosti slozene funkce.
- 2.3. Nevlastni limity a limity v nevlastnich bodech
- Limita = nekonecno, limita v nekonecnu; ruzne verze definice, jednotny zapis pomoci okoli.
- Prevedeni limit v nekonecnu do nuly; limity typu ``cislo delene nulou''; shrnujici veta o alg. operacich s limitami (i s nekonecny); pocitani zakladnich prikladu; veta: funkce monotonni na (jednostrannem) okoli bodu ma (jednostrannou) limitu.
- 2.4. Povidani o elementarnich funkcich
- Co to jsou elementarni funkce; pro pocitani: zakladni limity s nimi. Elementarni funkce; polynomy a racionalni funkce; jak vzdy nalezt racionalni koreny polynomu s celociselnymi koeficienty; spojitost na intervalu; spojity obraz intervalu; spojitost inverzni funkce (vse zatim bez dukazu).
- Zavedeni odmocnin; zavedeni funkce sin a cisla Pi , vlastnosti sin (spojitost a zakladni vztahy); zavedeni funkce cos (pomoci sin), dukaz zakladni limity pro cos; zavedeni funkci arcsin a arccos, jejich vlastnosti; slozene funkce typu sin(arcsin) apod; zavedeni funkci tg, cotg, jejich zakladni vlastnosti a prubeh; zavedeni jejich inverznich funkci arctg a arccotg. ln a exp, obecna mocnina, neurcite vyrazy v obecne mocnine.
3. Derivace
- 3.1. Derivace funkce v bode, derivace jako funkce
- Derivace v bode, vlastni, nevlastni, jednostranna; geometricka a fyzikalni interpretace; vlastni derivace implikuje spojitost v bode; derivace jako funkce; derivovani nekterych funkci (|x|, signum atd.)
- 3.2. Zakladni vlastnosti derivace
- Derivace souctu, rozdilu, soucinu, podilu; tabulka derivaci elementarnich funkci.
- Derivace inverzni funkce; derivace slozene funkce, dva dukazy: spatny a korektni; uvahy o aproximaci funkce jeji tecnou na malem okoli bodu a velikost chyby, ktere se takto dopustim.
- Symbol o (male o); pojem diferencialu jakozto linearniho zobrazeni; L'Hospitalova pravidla zatim bez dukazu; vyssi derivace; Leibnitzuv vzorec.
4. Zakladni vlastnosti spojitych a diferencovatelnych funkci
- 4.1. Vlastnosti spojitych funkci
- Funkce spojita na intervalu (definice); veta: spojita funkce na uzavrenem intervalu je omezena.
- Spojita na uzavrenem intervalu nabyva maxima a minima; veta o nabyvani mezihodnot (veta o reseni rovnic); spojity obraz intervalu; inverzni k spojite je spojita.
- 4.2. Vety o stredni hodnote a jejich dusledky
- Rolleova, Lagrangeova a Cauchyho veta o stredni hodnote; duskedky pro pocitani prirustku funkce; dusledky pro monotonii funkce: f spojita, f'>0 na (a,b), potom f rostouci na (a,b) atd.
- Dukaz L'Hospitalova pravidla, veta o limite derivace.
- 4.3. Konvexni a konkavni funkce
- Konvexita, jeji ruzne definice. Souvislost prvni a druhe derivace s konvexitou.
- Inflexni bod, souvislost s nulovosti druhe derivace v bode.
- 4.4. Tayloruv polynom
- Tayloruv polynom; jeho existence a jednoznacnost: n-ty Tayloruv polynom v okoli bodu x0 vzdy existuje, pokud existuje vlastni n-ta derivace f v x0.
- Presnejsi, tzv. Lagrangeuv tvar zbytku pri Taylorove polynomu; pocitani s Taylorem.
5. Primitivni funkce
- 5.1. Definice a zakladni vlastnosti
- Primitivni funkce; neurcity integral na otevrenem intervalu a konecnem sjednoceni takovych; zakladni integraly.
- Rovnost az na konstanty; spojita funkce ma vzdy primitivni; i nektere nespojite ji mohou mit; nektere funkce maji primitivni, ale nelze ji vyjadrit pomoci elementarnich funkci; integral souctu a nasobku konstantou; per partes; zakladni triky s nim; dve vety o substituci. Primitivni funkce je vzdy spojita.
- 5.2. Integrace racionalnich funkci
- Rozklad na parcialni zlomky; integrace jednotlivych parcialnich kusu.
Letni semestr 1994/95
[ Zacatek sylabu ] [ Zimni semestr ] [ Letni semestr ] [ Studijni literatura ]
6. Urcity integral
- 6.1. Definice a zakladni vlastnosti Riemannova integralu
- Deleni uzavreneho intervalu; zjemneni deleni; horni S(f,D) a dolni s(f,D) soucet pro omezene funkce; jak se chovaji horni a dolni soucty pri zjemnovani deleni; horni a dolni Riemannuv integral; Riemannuv (R-)integral; pojem riemannovsky integrovatelne funkce.
- Nerovnosti mezi hornim a dolnim souctem a integralem; explicitne spocteny priklad (z definice); B-C podminka existence R-integralu; Veta: monotonni a omezena funkce na omezenem intervalu ma R-integral; spojitost a stejnomerna spojitost; spojita funkce na uzavrenem intervalu je stejnomerne spojita (zatim bez dukazu).
- Spojita funkce na uzavrenem intervalu ma R-integral; linearita a monotonie R-integralu; aditivita R-integralu vzhledem k intervalu.
- 6.2. Integral s promennou mezi, Newton-Leibnitzova formule
- Integral s promennou horni mezi; spojitost neurciteho integralu = F; derivace F v bodech spojitosti f. Dusledky: spojita funkce na otevrenem intervalu ma primitivni funkci; Newton-Leibnitzova formule: pro uzavreny kazdy podinterval otevreneho intervalu, pro f spojitou v uzavrenem intervalu az do kraju.
- 6.3. Zobecneny Riemannuv integral
- Zobecneny Riemannuv integral, Newton-Leibnitzova formule pro nej. Dulezity priklad: chovani integralu typu 1/xa v okoli 0 a nekonecna.
- 6.4. Per partes a substituce pro urcity integral
- Per partes pro funkce f, g (spojite v uz. int.); dve vety o substituci. Priklad na spatne a dobre pouziti substituce.
- 6.5. Aplikace urciteho integralu
- Krivka jako graf funkce; krivka nekonecne delky, rektifikovatelna krivka; delka krivky jako integral; veta o Riemannovskych souctech (bez dukazu); objem rotacniho telesa; krivka zadana v parametrickem tvaru; v polarnich souradnicich; obsah plochy zadane v polarnich souradnicich.
Male intermezzo o komplexnich cislech
- Konvergence posloupnosti v C je konvergence po slozkach; dusledky: limita, derivovani i integrace komplexni funkce se daji provadet po slozkach, je-li promenna dane funkce realna.
7. Ciselne rady
- 7.1. Konvergence a divergence
- Rada a soucet rady; posloupnost castecnych souctu rady; konvergence, divergence, oscilace rady; rada geometricka; harmonicka rada diverguje.
- Nutna podminka konvergence; asociativni zakon pro rady (uzavorkovani rad); pocetni pravidla pro konvergentni rady (soucet, rozdil, nasobek konstantou).
- 7.2. Rady s nezapornymi cleny
- Konvergence je totez co omezenost castecnych souctu, jinak divergence k nekonecnu; srovnavaci kriterium I; Cauchyovo (odmocninove) a D`Alambertovo (podilove) kriterium.
- Integralni kriterium a odhad velikosti castecnych souctu pomoci nej; castecne soucty harmonicke rady; rady s cleny 1/na, 1/(n (ln n)b); srovnavaci kriterium II.
- 7.3. Absolutni a neabsolutni konvergence
- Podminka B-C (Bolzano-Cauchy) pro komplexni posloupnosti; podminka B-C pro komplexni rady; veta o absolutni konvergenci; absolutne a neabsolutne konvergentni rady; Abelovo a Dirichletovo kriterium; Abelova parcialni sumace; Lebnitzovo kriterium; poznamka o prerovnavani (ne)absolutne konvergentnich rad.
- Prerovnavani absolutne konvergentnich rad; nasobeni (AK) rad; shrnuti operaci, ktere lze provadet s radami; zaverecne poznamky: rady s promennou studujme zatim jako rady s parametrem; veta o Taylorove rade. Aplikace: definice exponencialy radou pro vsechna komplexni cisla a dukaz vztahu eix =cos x + i sin x pro x realna.
8. Metricke prostory, prostory Rn
- 8.1. Zakladni priklady a pojmy
- Metrika, jeji axiomy; tri metriky v Rn; metricky prostor spojitych funkci na uzavrenem intervalu; epsilon-okoli; mnozina otevrena; okoli je otevrena mnozina.
- Vlastnosti systemu otevrenych mnozin; mnozina uzavrena, vlastnosti systemu uzavrenych mnozin; hranice, vnitrek, uzaver; podprostor metrickeho prostoru.
- 8.2. Konvergence, uplnost, kompaktnost
- Konvergence v metrice, konvergence v Rn je konvergence po slozkach; cauchyovskost; uplnost; prostory Rn jsou uplne; kompaktnost; ekvivalentni charakterizace uzavrene mnoziny; kompakt je uzavreny.
- Omezenost; kompakt je omezeny; uzavrena podmnozina kompaktu; charakteristika kompaktu v Rn; vztah uplnosti a kompaktnosti; uzavrena podmnozina uplneho prostoru.
- 8.3. Spojitost a stejnomerna spojitost
- Spojita a stejnomerne spojita zobrazeni v metrickych prostorech; 4 ekvivalentni charakterizace spojitosti; Heineho veta; limita a spojitost, charakterizace techto pomoci posloupnosti (Heineho vety); spojity obraz kompaktu; vlastnosti spojite funkce na kompaktu: omezenost, nabyvani max a min (maji-li tyto smysl v prostoru, kam zobrazuju); spojita funkce na kompaktu je stejnomerne spojita.
9. Funkce vice promennych
- 9.1. Limita a spojitost
- Spojitost a limita pro fce vice promennych - na zaklade metrickych prostoru; spojitost a limita globalne a pres podmnozinu (treba po primkach y=kx); norma v Rn; zjistovani existence limity; Youngova nerovnost.
- 9.2. Parcialni derivace a totalni diferencial
- Definice parcialni derivace a derivace ve smeru; gradient; totalni diferencial (jako linearni zobrazeni) Df(x) a jeho graficka interpretace (tecna nadrovina); ekvivalentni podminka existence tot. dif.; tvar totalniho diferencialu, pokud existuje; veta: existence totalniho diferencialu implikuje spojitost fce v bode a existence derivaci ve vsech smerech.
- Dalsi vlastnost gradientu (smer nejvetsiho rustu); veta: parcialni derivace spojite v bode implikuji existenci totalniho diferencialu v bode; existence totalniho diferencialu pro soucet, rozdil, soucin a podil funkci.
- 9.3. Slozene derivovani, zamena promennych
- Totalni diferencial slozeneho zobrazeni; Laplaceuv operator v R2 v polarnich souradnicich; veta o stredni hodnote.
- 9.4. Tayloruv vzorec, vyssi diferencialy
- Vyssi parcialni derivace, jejich zamennost (bez dukazu); funkce tridy Ck(G), Tayloruv vzorec; druhy a vyssi diferencial(y).
- 9.5. Extremy funkci vice promennych
- Extremy funkce (lokalni a globalni); stacionarni body (nutna podminka existence extremu); Vety o extremech a 2. diferencialu (postacujici podminka existence extremu); pojmy: pozitivne (negativne) [semi]definitni (zobrazeni).
- 9.6. Implicitni funkce a vazane extremy
- Veta o implicitnich funkcich -- bez dukazu; vazany extrem, veta o Lagrangeovych multiplikatorech; priklady.
- Jeste metoda Lagrangeovych multiplikatoru - dukaz ve zjednodusene forme; priklady: extremy kvadraticke formy na jednotkove sfere, vzdalenosti objektu; Lagrangeovy multiplikatory pro vic dimenzi a vazeb.
10. Obycejne diferencialni rovnice
- 10.1. Zakladni definice a vety
- Obycejne dif. rovnice, rad rovnice, rovnice rozresena a nerozresena vzhledem k nejvyssi derivaci; reseni, rozsireni reseni, maximalni reseni; veta o existenci reseni; Lipschitzova podminka; veta o jednoznacnosti reseni; (obe bez dukazu.)
- 10.2. Rovnice 1. radu
- y'=f(x), y'=g(y), integrace a diskuse prikladu. Lemma o napojovani reseni; y'=f(x)g(y): metoda separace promennych; linearni rovnice prvniho radu: y'=a(x)y+b(x).
- 10.3. Linearni rovnice n-teho radu s konstantnimi koeficienty
- Homogenni a nehomogenni rovnice; fundamentalni system; charakteristicky polynom; variace konstant.
Doporucena literatura pro 1.rocnik
[ Zacatek sylabu ] [ Zimni semestr ] [ Letni semestr ] [ Studijni literatura ]
- Kopacek, J.: Matematika pro fyziky I., II., III. (skripta MFF UK).
- Kopacek, J. & kol.: Priklady z matematiky pro fyziky I.-III. SPN (skripta MFF UK).
- Jarnik, V.: Diferencialni pocet 1, 2 Academia Praha.
- Jarnik, V.: Integralni pocet 1, 2 Academia Praha.
- Rudin, W.: Principles of mathematical analysis (second edition) , McGraw-Hill, 1964.
- Novak, B.: Vybrane partie z teorie cisel skriptum MFF UK, 1972.
- Netuka, I., Vesely, J.: Priklady z matematicke analyzy III - priklady pro 1. rocnik, skriptum MFF UK.
- Demidovic, B.P.: Sbornik zadac i upraznenij po matematiceskomu analizu (rusky) Nauka, Moskva, 1977.
- Berman, G.N.: Sbornik zadac po kursu matematiceskovo analiza (rusky), Nauka, Moskva, 1977.
- Lukes, J. a kolektiv: Problemy z MA, skriptum MFF UK.
- Jarnik, V.: Matematicka analyza pro 3. semestr, skriptum MFF UK, 1978.
- Salat, T.: Metricke prostory, Alfa, Bratislava, 1981.
- Kurzweil, J.: Obycejne diferencialni rovnice, SNTL, 1978.