Pozadavky ke zkousce z Matematicke analyzy pro fyziky, 2. rocnik (F064)

Zimni semestr 1995/96

Zde muzete obdrzet tyto pozadavky ve forme ps souboru

Pisemna cast zkousky

Pisemna cast zkousky trva dve hodiny, ve kterych bude nutno vyresit tri priklady z nasledujiciho okruhu temat:

Literatura k pisemne casti zkousky

  1. G.N. Berman: Sbornik zadac po kursu matematiceskovo analiza (rusky), Nauka, Moskva, 1977.
  2. B.P. Demidovic: Sbornik zadac i upraznenij po matematiceskomu analizu (rusky; zakladni sbirka, mnoho prikladu z ostatnich sbirek se touto knihou nechalo inspirovat), Nauka, Moskva, 1976.
  3. Jiri Kopacek (a kol.): Priklady z matematiky pro fyziky II., skriptum MFF UK, SPN, 1989 (obsahuje: Variacni pocet, posloupnosti a rady funkci.)
  4. Jiri Kopacek (a kol.): Priklady z matematiky pro fyziky III., skriptum MFF UK, SPN, 1988 (obsahuje: Lebesgueova mira a integral, integraly s parametrem, Leviho a Lebesgueova veta, Fubiniho a substitucni veta.)
  5. Jaroslav Lukes: Priklady z matematicke analyzy I. (Priklady k teorii Lebesgueova integralu). Skriptum MFF UK, 1984 (Obsahuje: vse kolem Lebesgueovy teorie. Souhrn vet, dosti prikladu, hodne z nich resenych a vetsina s navodem k reseni.)
V uvedenych sbirkach ci skriptech je dostatecne mnozstvi prikladu ke vsem tematum. Pokud nekdo nema k teto literature snadny pristup, muze me navstivit a nechat si nejake priklady oxeroxovat. Doporucuji zejmena Kopackova prikladova skripta.

Pozadavky k ustni zkousce

Pozadavky jsou rozdeleny do nekolika zakladnich okruhu. V kazdem okruhu nejprve specifikuji pojmy, ktere s danou problematikou souviseji a ktere byste meli znat. Nasleduje vycet faktu z daneho okruhu, ktere povazuji za dulezite. ``Bez dukazu'' znamena bez dukazu, jinak vzdy s dukazem.
  1. Posloupnosti a rady funkci
    • Pojmy: bodova konvergence; stejnomerna konvergence; lokalne stejnomerna konvergence; absolutni bodova konvergence; mocninna rada; kruh konvergence; polomer konvergence; konvergencni kruznice.
    • Fakta: Bolzano-Cauchyova podminka stejnomerne konvergence. Ekvivalentni podminka stejnomerne konvergence (veta o sigman). Nutna podminka stejnomerne konvergence rady. Weierstrassovo, Leibnitzovo, Abel-Dirichletovo kriterium pro stejnomernou konvergenci (bez dukazu). Veta o limite a spojitosti pro posloupnosti i pro rady (bez dukazu). Veta o derivovani a primitivni funkci pro posloupnosti a rady funci. Veta o Reimannove integralu posloupnosti a rady funkci (s dukazem pro spojite funkce). Veta o konvergenci mocninne rady. Veta o polomeru a kruhu konvergence mocninne rady. Vzorec pro polomer (bez dukazu). Abelova veta o konvergencni kruznici.
  2. Uvod do variacniho poctu
    • Pojmy: Funkcional; Gateauxuv diferencial; kriticky bod funkcionalu; Euler-Lagrangeova rovnice.
    • Fakta: Definice Gateauxova diferencialu. Eulerova veta o kritickem bodu (bez dukazu). Euler-Lagrangeova veta o E-L rovnici (bez dukazu).
  3. Lebesgueova mira a Lebesgueuv integral
    • Pojmy: Okruh, sigma-okruh, algebra, sigma-algebra; symetricka diference; interval v Rn a jeho kanonicke rozdeleni; simultanni kanonicke rozdeleni; systemy mnozin Sn a En; aditivni funkce mnoziny; regularni funkce mnoziny; vnejsi mira; Lebesgueova mira; lebesgueovsky meritelne mnoziny; Borelovske mnoziny.
    • Fakta: Vlastnosti mnozinoveho okruhu. Existence simultanniho kanonickeho rozdeleni pro intervaly v Rn (naznak dukazu). En je okruh. Zakladni vlastnosti aditivni a sigma-aditivni funkce, zejmena chovani na pruniku a sjednoceni mnozin. Veta o existenci a jednoznacnosti rozsireni konecne aditivni funkce ze Sn na En. Definice a vlastnosti vnejsi miry. Definice Lebesgueovy miry a Lebesgueovsky meritelnych mnozin, jejich vlastnosti (zejmena ukazte, ze Lebesg. meritelne mnoziny jsou nejvetsi okruh, ktery obsahuje intervaly a vnejsi mira je na nem aditivni; vyuzijte bez dukazu lemma o ekvivalentni charakterizaci meritelnych mnozin); dale: mira bodu, spocetne mnoziny. Vztah mezi Borelovskymi a meritelnymi mnozinami.
    • Pojmy: Meritelna funkce; jednoducha funkce; charakteristicka funkce mnoziny; Lebesgueuv integral; konvergence a existence integralu; integral s parametrem; Gamma funkce; Fubiniho veta; veta o substituci; Jacobiho determinant.
    • Fakta: Veta o operacich s meritelnymi funkcemi; spojita funkce je meritelna. Integral z jednoduche meritelne funkce. Veta o aproximaci jednoduchymi funkcemi. Lebesgueuv integral, jeho zakladni vlastnosti (bez dukazu, jak bylo odpredneseno; budu se ptat napr.: jak je tomu s integralem pres prunik smrskavajicich se mnozin...) Vety Leviho, Lebesgueova. Fatouovo lemma. Vse s dukazy, ve verzich pro posloupnosti i rady. Vztah mezi Riemannovym a Lebesgueovym integralem (bez dukazu). Integraly s parametrem: vety o limite, spojitosti, derivaci. Gamma funkce a jeji zakladni vlastnosti. Fubiniho veta, veta o substituci (bez dukazu, pocitejte s moznosti, ze budeme diskutovat priklad i u ustni zkousky).
  4. Krivkovy integral
    • Pojmy: Krivka; jednoducha krivka, uzavrena krivka; tecny a normalovy vektor ke krivce; vektor binormaly; krivkovy integral 1. a 2. druhu; potencial vektoroveho pole.
    • Fakta: Definice a zakladni vlastnosti krivkovych integralu obou druhu. Veta o vypoctu integralu pomoci potencialu. Ekvivalence nezavislosti integralu na ceste. Veta o existenci potencialu.
  5. Plosny integral
    • Vetsinu z nej budu brat az po vanocich a budu zkouset az v lete.

Literatura k ustni casti zkousky

Nejblize prednasce jsou skripta Kopacek a kolektiv, a to nasledujicim zpusobem: Seznam doporucene literatury:
  1. Vlastni poznamky z prednasek
  2. Kopacek, J.: Matematika pro fyziky II (skriptum MFF UK)
  3. Kopacek, J.: Matematika pro fyziky III (skriptum MFF UK)
  4. Kopacek, J.: Matematika pro fyziky IV (skriptum MFF UK)