Cvičení pro 3.ročník: Matematika pro fyziky II (F060)
Cvičení ke stejnojmenné přednášce dr. Čiháka.
Cvičící: M. Rokyta, KMA
Následující soupis obsahuje seznam témat, která spadají do cvičení k uvedené přednášce.
Ne vše bylo odcvičeno, což se přihodilo především z časových důvodů. Většina
z bodů však odcvičena byla. Toto cvičení (i příslušná přednáška) se koná pouze v zimním semestru.
Téma 1: Některé speciální funkce
- Gamma funkce, její definice v R a C, základní vztahy pro Gamma v n a n+1/2, některé integrály, vyjádřitelné pomocí Gamma funkce.
- Holomorfní rozšíření Gamma funkce, residua v singularitách, graf; plocha n-dimenzionální sféry.
- Beta funkce, různá integrální vyjádření.
- Beta funkce a její souvislost s Gamma funkcí.
- Besselovy funkce 1. druhu, definice řadou; definující diferenciální rovnice, vztahy, grafy.
- Distribuce, co to je a proč to potřebujeme.
- Regulární distribuce a distribuce z prostoru S', derivování, násobení funkcí, operace. Některé výpočty s distribucemi.
- Fundamentální řešení obyčejné difer. rovnice, jeho sestrojení z řešení příslušné homogenné rovnice.
- Řešení obyčejných diferenciálních rovnic v oboru distribucí bez použití Fourierovy transformace.
- Pojem fundamentálního řešení a motivace: konvoluce funkce s Dirakem.
- -Laplace(u)=Dirac, sféricky symetrické řešení, řešení ve dvou a třech dimenzích.
- Převedení eliptického operátoru na kanonický tvar (bez použití Fourierovy transformace).
- Fourierova transformace funkcí, základní vztahy.
- Fourierova transformace distribucí, základní vztahy a některé transformace.
- Fourierova transformace pomocí residuové věty, sféricky symetrické funkce v R3 a jejich F.T.
- Řešení L(u)=Dirac pomocí Fourierovy transformace, kde L je lineární parciální diferenciální operátor.
- Definice konvoluce funkcí a distribucí (některých).
- Konvoluční rovnice a jejich řešení přímé i pomocí Fourierovy transformace.
- Fundamentální řešení, jeho odvození pomocí Fourierovy transformace.
- Počáteční (Cauchyova úloha), úloha na poloprostoru, úloha v prvním kvadrantu.
- Periodické funkce a distribuce, úloha na omezeném intervalu, řešení pomocí Fourierových řad.
- Vedení tepla na tyči, chladnutí koule.
- Dirichletova úloha pro Laplace-Poissonovu rovnici a její řešení na polorovině.
- Metoda konformního zobrazení na polorovinu a důsledky pro řešení L.-P. rovnice.
- Fundamentální systém řešení vlnové rovnice ve dvou a třech dimenzích.
- Metoda Fourierovy transformace a Fourierových řad.
- Laplaceova transformace funkcí a distribucí, základní vlastnosti a početní úkony.
- Řešení elektrických obvodů pomocí Laplaceovy transformace.
- Rovnice s konvolucí pomocí Laplaceovy transformace.
- Metoda konformního zobrazení, Žukovského funkce.
- Obtékání jednoduchých profilů.
