Přednáška F064 - LETNÍ SEMESTR
Přednášející: M. Rokyta, KMA
Následující stránka obsahuje sylabus přednášky v letním semestru. Je pokračováním podobné stránky ze semestru zimního. Číslování kapitol opět pokračuje z předchozích semestrů. Požadavky ke zkoušce a literaturu hledejte na zvláštní straně. Přednáška probíhala vždy v pondělí a ve čtvrtek od 10:40 v posluchárně M1, v době od 22.2.1999 do 28.5.1999.
17. Plošný integrál
- 17.1. Zadání plochy; integrál prvního druhu
- Jednoduchá k-plocha; zobecněná k-plocha; parametrické zadání 2-plochy v R3; normálový vektor k ploše; plošný integrál 1. druhu; nezávislost na parametrizaci; povrch toru.
- 17.2. Orientace plochy; integrál druhého druhu
- Orientovaná plocha, spojité pole normál; plošný integrál druhého druhu, souvislost obou integrálů, nezávislost na parametrizaci.
- 17.3. Grammův determinant, různá zadání plochy
- Grammův determinant; parametrické, explicitní a implicitní zadání plochy, různé tvary normál a integrálů.
- 17.4. Gauss-Ostrogradského, Greenova a Stokesova věta.
- G-O věta s náznakem důkazu pro 3 dimenze. Důsledky G-O: věta o divergenci, per partes, 1. a 2. Greenova formule, Neumannova a Dirichletova úloha pro Laplaceův operátor - poznámky.
- Greenova věta a Stokesova věta (porovnání); alternativní definice divergence a rotace; shrnutí typů integrací v prostorech do dimenze 3.
- 17.5. Plošné integrály v dimenzi n (poznámky)
- Zobecněný vektorový součin, plošné integrály obou typů pro plochy dimenze n-1 v prostoru dimenze n, Gauss-Ostrogradskij v n dimenzích, povrch n-dimenzionální sféry; objem k-rozměrného rovnoběžnostěnu v prostoru dimenze n, integrál prvního druhu přes k-plochu v prostoru dimenze n.
18. Fourierovy řady
- 18.1. Trigonometrické řady
- Trigonometricka řada; lemma o integrálech ze sinů a cosinů; Fourierova řada v sinech a cosinech; komplexní Fourierova řada.
- 18.2. Abstraktní Fourierovy řady
- Hilbertův prostor, prostory Lp; Youngova a Hölderova nerovnost; ortogonální systémy, Fourierova řada podle ortogonálního systému, Besselova nerovnost, Parsevalova rovnost.
- Úplný ortogonální systém; ekvivalence úplnosti, Pasevalovy rovnosti a konvergence Fourierovy řady k startovní funkci, geometrická interpretace; řada nejlepší aproximace.
- 18.3. Konvergence Fourierových řad sinů a cosinů
- Riemann-Lebesgueovo lemma, Riemannova věta o lokalizaci. Besselova nerovnost, Pasevalova rovnost. Bodové konvergenční věty.
- 18.4. Derivování a integrování Fourierových řad
- Konvergence řady koeficientů vynásobených mocninou n a jeji vliv na derivovatelnost Fourierovy řady. Souvislost s hladkostí původní funkce. Integrování Fourierovy řady pro spojitou f.
- 18.5. Další OG systémy, aplikace, závěrečné poznámky
- Hilbertovy prostory s vahou, systémy OG polynomů (Legendre, Čebyšev-Hermit, Laguerre); okrajová úloha generuje OG systém v prostoru s vahou.
19. Komplexní analýza
- 19.1. Gaussova rovina, komplexní funkce
- Fukce zvané Arg a arg, mnohoznačné funkce a jejich jednoznačné větve; problém nekonečen, stereografická projekce; elementární funkce a jejich rozšíření; log a Log.
- 19.2. Holomorfní funkce, Cauchy-Riemannovy podmínky
- Holomorfní funkce v bodě a na otevřené množině; C-R podmínky; harmonická a harmonicky sdružená funkce.
- Derivace elementárních funkcí.
- 19.3. Křivkový integrál a primitivní funkce v komplexní rovině
- Křivka: uzavřená, jednoduchá, Jordanova; délka křivky, křivkový integrál.
- Primitivní funkce a její existence, nezávislost integrálu na cestě, nulovost integrálu přes uzavřenou křivku, vzajemná ekvivalence.
- 19.4. Cauchyova věta
- Jednoduše souvislá oblast, Cauchyova věta, aplikace.
- Jordanovo lemma a lemma o malých kruhových obloucích; Cauchyův vzorec, holomorfnost všech derivací holomorfní funkce; Morerova věta.
- 19.5. Taylorova a Laurentova rada
- Weierstrassova věta o řadách; reálné a komplexní řady - diskuse.
- Mocninné a zobecněné mocninné řady, malý a velký poloměr, mezikruží konvergence, vzorec pro koeficienty, jejich jednoznačnost. Laurentova řada; shrnutí: Taylor a kruh, Laurent a mezikruží.
- 19.6. Isolované singularity, residua, residuová věta
- Isolovaná singularita: odstranitelná, pól a jeho násobnost, podstatná singularita, residuum v konečném bodě; residuová věta; pravidla pro výpočet residuí. Charakterizace isolovaných singularit, Casorati-Weierstrassova věta;
- Nekonečno jako isolovaná singularita, residuum v nekonečnu, Laurentova řada kolem nekonečna. Riemannova věta pro sféru.
- 19.7. Použití residuové věty k výpočtům
- Přímý výpočet křivkových integrálů; racionální funkce sinu a cosinu přes celou periodu; racionální funkce. Racionální funkce s goniometrickými - odvození z residuové věty, typické příklady, diskuse.
- 19.8. Liouvilleova věta, věta o jednoznačnosti
- Liouvilleova věta, základní věta algebry, věta o jednoznačnosti, důsledky pro rozšiřování holomorfních funkcí.
20. Fourierova a Laplaceova transformace
- 20.1. Fourierova transformace
- Fourierova transformace, motivace; obrácená Fourierova transformace; různé F.t. (ruzné volby konstant).
- Základní vlastnosti transformace, Riemann-Lebesgueovo lemma; konvoluce a její vlastnosti, F.t. konvoluce.
- 20.2. Věta o inverzi pro Fourierovu transformaci
- Multiindexy a zápis parciálního derivování podle nich. Schwarzův prostor S(Rn) rychle klesajících funkcí, jeho hustota v prostorech Lp; derivování Fourierovy transformace; věta o inverzi.
- Fourierova transformace součinu funkcí; inverzní formule pro funkce z L1.
- 20.3. Fourierova transformace funkcí z L2
- Parsevalova rovnost, definice Fourierovy transformace v L2. Hlavní aplikace: řešení diferenciálních rovnic pomocí Fourierovy transformace a zádrhele s tím spojené.
- 20.4. Laplaceova transformace
- Laplaceova transformace a její vztah k Fourierově transformaci; vlastnosti Laplaceovy transformace (linearita, substituce, posunutí, derivování, integrování, součin), základní příklady.
- 20.5. Věta o inverzi pro Laplaceovu transformaci
- Vzory a obrazy - tabulka (viz tahák v záhlaví kapitoly), inverzní formule, zapojení residuových počtů do Laplaceovy transformace, příklady (hlavně na řešení diferenciálních rovnic).
Doporučená literatura
Podrobný seznam doporučené literatury hledejte ve zkouškových požadavcích