Zkouškové požadavky F 064, zimní semestr

---

Písemná část zkoušky

Písemná část zkoušky trvá dvě a půl hodiny, ve kterých bude nutno vyřešit čtyři příklady, které budou vybrané z následujících 6 okruhů témat:

1. Zjistěte, zda daná posloupnost či řada funkcí konverguje stejnoměrně (případně k čemu).
2. Řešení ODR: ve tvaru totálního diferenciálu, nebo s integračním faktorem, nebo Eulerova.
3. Sestavit a vyřešit Euler-Lagrangeovu rovnici k danému funkcionálu.
4. Integrace posloupností a řad funkcí, tj. většinou příklad na Leviho a Lebesgueovu větu.
5. Integrály s parametrem.
6. Vícerozměrná objemová integrace: Fubiniho věta a věta o substituci.

Jako dříve bude možno přijít si písemku pouze "zkusit", tentokrát však za poněkud přísnějších pravidel: po 60 minutách se budete muset rozhodnout, zda odcházíte od písemky bez újmy na obecnosti, nebo zda zůstáváte, čímž přistupujete ke zkoušce a obdržíte v tomto termínu jednu ze čtyř známek.

Konzultace

Obecně jsem k dispozici pro konzultování kdykoli v pracovní den po předběžné dohodě, úterky mi však jsou nejbližší, to mám obecný "den otevřených dveří" (tj. i pro ty, které neučím). Telefon ke mně do pracovny: 221913269, email: mirko.rokyta@mff.cuni.cz čtu téměř denně.

---

POŽADAVKY K ÚSTNÍ ZKOUŠCE

Požadavky v každém okruhu jsou rozděleny do dvou částí. Část první, "nutná" je odsazena více vlevo a je psána stojatým písmem, ta platí pro všechny, kteří chtějí udělat zkoušku. Část druhá je typu "navíc pro lepší známku", je odsazena více vpravo a je psána písmem ležatým. Ta je tu je od toho, abych z ní pokládal dodatečné otázky pro ty, kteří aspirují na lepší známku než 3.

Posloupnosti a řady funkcí

• Pojem bodové a stejnoměrné konverence. Bolzano-Cauchyova podmínka stejnoměrné konvergence. Ekvivalentní podmínka stejnoměrné konvergence (věta o sigma_n). Nutná podmínka stejnoměrné konvergence řady.
• Věta o limitě a spojitosti pro posloupnosti i pro řady. Věta o derivování a primitivní funkci pro posloupnosti a řady funkcí. Věta o Reimannově integrálu posloupnosti a řady spojitých funkcí.
• Pojem mocninné řady, střed mocninné řady. Věta o konvergenci mocninné řady pro |z|<|z_1|, pokud řada konverguje v bodě z_1. Věta o poloměru a kruhu konvergence mocninné řady.
• Abelova věta o konvergenční kružnici (bez důkazu).
• Vlastnosti funkce definované jako součet řady.
  • Weierstrassovo, Leibnitzovo, Abel-Dirichletovo kriterium pro stejnoměrnou konvergenci (bez důkazů, s vysvětlením).
  • Diniho věta (bez důkazu).
  • Abelova věta o konvergenční kružnici (důkaz pro reálný bod kružnice).
  • Vzorce pro poloměr mocninné řady (bez důkazu).
  • Řada derivovaná a integrovaná člen po členu mají tentýž poloměr konvergence.
  • Vztah mezi funkcí, definovanou řadou a její Taylorovou řadou, funkce reálně analytická (bez důkazů, s vysvětlením).

ODR podruhé

• Lineární rovnice n-tého řádu, pojem Wronskiánu.
• Vztah mezi lineární závislostí funkcí a nulovostí Wronskiánu.
• Rovnice ve tvaru totálního diferenciálu.
• Integrační faktor a jeho speciální typy (speciální závislosti).
• Eulerova rovnice.
• Souvislost jedné rovnice n-tého řádu a soustavy n rovnic prvního řádu.
  • Wronskián řešení lineární rovnice splňuje ODR 1.řádu, důsledek pro snížení stupně ODR.
  • Bernoulliova a Riccatiho rovnice a jak se řeší.
  • Lipschitzova podmínka a věta o existenci a jednoznačnosti pro systém ODR (bez důkazu).

Úvod do variačního počtu

• Pojem funkcionálu; Gateauxův diferenciál; kritický bod funkcionálu.
• Definice Gateauxova diferenciálu.
• Eulerova věta o kritickém bodu.
• Euler-Lagrangeova věta o E-L rovnici (bez důkazu lemmat, která jsou k tomu potřeba).
  • Lemata, která jsou potřeba k důkazu E-L věty.
  • Speciální typy E-L rovnice.
  • Frechetův diferenciál a základní věta o něm.

Lebesgueova míra

• Interval v R^n a jeho objem, konstrukce a vlastnosti vnější Lebesgueovy míry (bez důkazu).
• Definice lebesgueovské měřitelnosti.
• Pojmy: abstraktní vnější míra, definice abstraktní měřitelnosti, sigma algebra množin, abstraktní míra.
• Věta o obecné konstrukci míry z abstraktní vnější míry (bez důkazu) a aplikace na Lebesguea.
• Lebesgueovsky měřitelné množiny jsou "největší možná sigma algebra".
• Nulové množiny, co je to "skoro všude", míra bodu, spočetné množiny. Otevřená množina je měřitelná.
  • Důkaz vlastností vnější Lebesgueovy míry.
  • Lemmata o míře sjednocení a průniku systému do sebe vložených množin.
  • Borelovské množiny a jejich vztah k měřitelným.

Lebesgueův integrál

• Pojem měřitelné funkce.
• Věta o vlastnostech systému měřitelných funkcí s důkazem buď pro supremum nebo pro složení funkcí (vyberte si).
• Spojitá funkce je měřitelná.
• Aproximativní vlastnost jednoduchých funkcí s důkazem.
• Jednoduchá funkce a její integrál. Lebesgueův integrál, pojem existence a konvergence.
• Základní vlastnosti lebesgueova integrálu (pasivní znalost bez důkazů, pasivní znamená, že já budu formulovat a budu se konkrétně ptát např.: platí tato vlastnost pro lebesgueův integrál...?)
• Věty Leviho, Lebesgueova. Fatouovo lemma. Vše s důkazy, ve verzích pro posloupnosti i řady.
• Vztah mezi Riemannovým a Lebesgueovým integrálem (bez důkazu).
• Integrály s parametrem: věty o limitě, spojitosti a derivaci.
• Gamma funkce a její základní vlastnosti (bez důkazů).
• Fubiniho věta, věta o substituci (bez důkazů, počítejte s možností, že budeme diskutovat nějaký příklad i u ústní zkoušky).
  • Věta o vlastnostech systému měřitelných funkcí se všemi důkazy.
  • Měřitelná funkce a 4 ekvivalentní výroky o tomto.
  • Gamma funkce a její základní vlastnosti a průběh (s důkazem).

Křivkový integrál

• Křivka; jednoduchá křivka, uzavřená křivka; tečný a normálový vektor ke křivce; vektor binormály;
• Definice a základní vlastnosti křivkových integrálů obou druhů.
• Věta o výpočtu integrálu pomocí potenciálu.
• Ekvivalence nezávislosti integrálu na cestě.
• Věta o existenci potenciálu.

---

To je vše, hodně štěstí u zkoušek a PF 1999, M.Rokyta.