Řešení obecné kubické rovnice
Řešíme obecnou kubickou rovnici tvaru (kde je různé od 0, jinak by to nebyla kubická rovnice):
resp. ,
to po vydělení rovnice číslem , přičemž , . Další úpravou je možné se "zbavit" i členu s druhou mocninou, zavedením nové proměnné vztahem
.
Dosazením do rovnice pro x dostaneme po úpravě:
Položíme-li tedy
,
obdržíme tzv. redukovanou kubickou rovnici
.
Řešení této rovnice budeme hledat ve speciálním tvaru
,
kde u, v jsou neznámá (hledaná) čísla. Proč vlastně v tomto tvaru? Jednak proto, že to vyjde :) a jednak to přece jenom má jakousi logiku: očekáváme, že hledané kořeny budou mít co do činění s nějakou kombinací třetích odmocnin, a toto je jedna z nejjednodušších.
Po dosazení a úpravě dostaneme
což po úpravě dává
.
Tato rovnice bude splněna například tehdy, když
Uvedená soustava pro neznámé vede na kvadratickou rovnici například pro proměnnou : po dosazení do druhé rovnice dostaneme , neboli:
.
Diskriminant této kvadratické rovnice, , se nazývá i diskriminantem původní kubické rovnice, častěji se však tímto termínem označuje jeho čtvrtina: , vyznačující se hezkou symetrií.
Problém je tím v podstatě vyřešen, spočteme jako (stačí jeden) kořen uvedené kvardatické rovnice a najdeme z u. Dosazením získáme i , a po provedení zpětných substitucí se dozvíme i . Všecko to pak vypadá takto (proveďte si podrobně):
Poslední vyjádření x lze ještě drobně upravit:
Tento Cardanův vzorec umožňuje nalézt všechny tři kořeny původní kubické rovnice tím, že bereme do úvahy různé třetí odmocniny výrazů v něm uvedených.
Všechno bylo sepsáno v Maplu (který za mě upravoval výrazy, proto jsem to v něm taky psal), který se vyznačuje nepříliš hezkou úpravou, za kterou se omlouvám.