Konečná tělesa

Přednáška:  Pátek 9:00 - 10:40 K8


Abstrakt. Na přednášce probereme látku v rozsahu skript Libora Barta a Jiřího Tůmy. Nejprve zopakujeme základní pojmy teorie těles včetně existence a jednoznačnosti kořenových a rozkladových nadtěles a jejich konstrukcí. Ukážeme také, že pro každé prvočíslo p a každé přirozené číslo n exituje (až na izomorfismus) právě jedno těleso mohutnosti pn, a že jiná konečná tělesa neexistují. Dále nahlédneme strukturu podtěles daného konečného tělesa Fq a popíšeme jeho aditivní a multiplikativní grupu. Prozkoumáme strukturu odmocnin z jedné nad daným tělesem a budeme zkoumat cyklotomické polynomy. Definujeme Möbiovu funkci a ukážeme Möbiovu inverzní formuli. Tu pak použijeme ke studiu cyklotomických polynomů. Dále se budeme zabývat faktorizací polynomů nad konečným tělesem. Popíšeme Berlekampův a Zassenhausův algoritmus. Nakonec ukážeme několik použití konečných těles, zejména v teorii lineárních cyklických kódů.


Průběh zkoušky: Zkouška bude sestávat ze tří otázek; jedné pokrývající větší téma, další v rozsahu jedné věty a jejího detailního důkazu a jednoho příkladu nebo aplikace.


Průběh kurzu

  1. 21. února 2020. Na první přednášce jsme definovali pojem tělesa, ukázali si několik příkladů a nahlédli některé základní vlastnosti těles. Definovali jsme charakteristiku tělesa, ukázali, že je buto 0 nebo prvočíslo. V závislosti na charakteristice jsme popsali prvotěleso daného tělesa, tedy jeho nejmenší podtěleso.
  2. 28. února 2020. Přednáška se nekonala.
  3. 6. března 2020. Definovali jsme homomorfismus těles a rozmysleli si, že netriviální homomorfismus těles je prostý. Ukázali jsme, že každé těleso obsahuje nejmenší podtěleso, nazývané prvotěleso. Prvotěleso je buto izomorfní tělesu Zp pro tělesa kladné charakterestiky p, nebo tělesu racionálních čísel pro tělesa charakteristiky 0.

    Nadále bude výuka až do dovolání probíhat distanční formou. Na této stránce (a souběžně e-mailem) budu postupně zadávat kapitoly ze skript Libora Barta a Jiřího Tůmy .

  4. 13. března 2020. Nastudujte látku v rozsahu podsekcí 2.1 - 2.3. Nejprve si rozmyslete, že každé konečné těleso je vektorovým prostorem nad svým prvotělesem. Počet prvků konečného tělesa je tedy mocninou jeho (nutně prvočíselné) charakteristiky. Dále si přečtěte důkaz existence a jednoznačnosti kořenového nadtělesa ireducibilního polynomu a rozkladového nadtělesa polynomu nad tělesem.
  5. 20. března 2020. Přečtěte si podsekce 2.4 a 2.5. V podsekci 2.4 sestrojíte q = pn prvkové těleso jako rozkladové nadtěleso polynomu xq-x nad p-prvkovým tělesem. Klíčová je rovnost (a + b)q = aq + bq, která platí v každém tělese prvočíselné charakteristiky p. V podsekci 2.5 se seznámíte s dvojicí zajímavých aplikací na konstrukci množin po dvou kolmých latinských čtverců a konstrukci konečných projektivních rovin.
  6. 24. dubna 2020. Nejprve v Podsekci 3.1 popíšeme strukturu podtěles konečného tělesa. Ukážeme, že pro každe m | n existuje právě jedno podtěleso pn-prvkového tělesa, které má pm prvků. Uspořadáni těchto podtěles je dáno uspořádáním dělitelů přirozeného čísla n relací dělitelnosti. V Podsekci 3.2 popíšeme aditivní grupu konečného tělesa a multiplikativní grupu jeho nenulových prvků. Ukážeme, že obě grupu jsou cyklické. Generátor multiplikativní grupy se nazývá primitivní prvek. Zavedeme pojem algebraického prvku nad tělesem a jeho minimálního polynomu. Ukážeme souvislost mezi stupněm minimálního polynomu a dimenzí rozšiření o daný algebraický prvek.

    Zde si můžete stáhnout prezentaci .

  7. 15. května 2020. Podsekce 3.4 - 3.6: Ukážeme, že nad konečným tělesem existují ireducibilní polynomy libovolných stupů. Polynom xr - x, kde r=qn je dělitelný ireducibilním polynomem f stupe m nad konečným tělesem Fq právě když m | n. Polynom xr - x je součinem všech těchto polynomů. Dále ukážeme, že kořenové rozšíření konečného tělesa je zárove rozšířením rozkladovým. V Podsekci 3.5 ukážeme, že automorfimy konečného tělesa jsou právě mocniny Frobeniova automorfismu. Nakonec, v Podsekci 3.6, ukážeme, jak reprezentovat prvky konečného tělesa pomocí matic.

    Zde si můžete stáhnout prezentaci .

  8. 22. května 2020. Sekce 4: V této sekci budeme studovat rozkladová rozšíření polynomů xn - 1, nazývaná n-tá cyklotomická nadtělesa. Ukážeme, že množina všech kořenů polynomu xn - 1 tvoří cyklickou podgrupu multiplikativní grupy. Generátory této podgrupy budeme nazývat primitivní n-té odmocniny z 1. Definujeme n-tý cyklotomický polynom jako součin lineárních polynomů x - ξ, kde ξ probíhá všechny primitivní n-té odmocniny z 1. Ukážeme, že koeficienty cyklotomických polynomů leží v prvotělese. Naučíme se cyklotomické polynomy počítat.

    Zde si můžete stáhnout prezentaci .

  9. 29. května 2020. Sekce 5: Definujeme Möbiovu funkci a dokážeme Möbiovu formuli a ukážeme si některé její aplikace. Naučíme se pomocí Möbiovy inverzní fromule počítat cyklotomické polynomy.

    Zde si můžete stáhnout prezentaci .

  10. 5. června 2020. Podsekce 6.1 a 6.2: V poslední sekci popíšme algoritmy rozkládající polynomy nad konečnými tělesy. Nejprve roaložíme polynom v součin bezčtevercových polynomů. Bezčtvercové polynomy dále rozložíme pomocí Berlekampova algoritmu.

    Zde si můžete stáhnout prezentaci .

  11. 12. června 2020. Podsekce 6.3 a 6.4: Alternativou k Berlekampovu algoritmu je Zassenhausův algoritmus. Nakonec ukážeme, jak počítat kořeny polynomů nad konečnými tělesy.

    Zde si můžete stáhnout prezentaci .


Literatura

  1. Lang, S., Algebra (rev. 3rd ed.), Springer-Verlag, 2002.
  2. Lidl, R., Niederreiter, H., Introduction to Finite Fields and their Applications (rev. ed.), Cambridge University Press, 1994.
  3. Mullen, G. L., Mummert, C., Finite Fields and Applications, AMS Students Mathematical Library vol. 41, AMS, 2007.


Home Page     SIS