Cvičení 11

V celém cvičení jako vždy platí, že okruh = okruh s jednotkou, není-li explicitně řečeno jinak.

$\Z_{12}$ je cyklická grupa, takže jde jen o to, kam pošleme její generátor. Okruhový homomorfismus musí posílat (multiplikativní) jedničku na (multiplikativní) jedničku.

$\Z_{12}$ je cyklická grupa, takže jde jen o to, kam pošleme její generátor $1$. Ten můžeme poslat na libovolný prvek $x \in \Z_{30}$, který splňuje $12x = 0$, neboli $30 \mid 12x$, neboli $5 \mid x$, tj. $x \in \{0, 5, 10, 15, 20, 25\}$. Okruhový homomorfismus musí posílat jedničku na jedničku a to žádný z uvedených nesplňuje, takže žádný homomorfismus okruhů $\Z_{12} \to \Z_{30}$ neexistuje. (Pokud bychom podmínku $f(1) = 1$ vypustili, stále nám musí platit přinejmenším $f(1)^2 = f(1)$, což splňují z výše uvedených $10$ a $20$. Že obě volby budou fungovat se dá nahlédnout z Čínské zbytkové věty – $\Z_{12} \cong \Z_4 \times \Z_3$ a $\Z_{30} \cong \Z_5 \times \Z_3 \times \Z_2$).

(Dosazovací homomorfismus z přednášky) Víme, že polynomy (jedné neznámé) nad tělesem tvoří obor hlavních ideálů. Uvažme rozšíření těles $\kk \leq \K$. Nalezněte nějaký generátor $\Ker \varphi_a$, kde $a \in \K$ a okruhový homomorfismus $\varphi_a\colon \kk[x] \to \K$ je definován předpisem $\varphi_a(f) = f(a)$, pokud

$\kk = \R$, $\K = \R$, $a = 0$,
$\kk = \R$, $\K = \R$, $a = 1$,
$\kk = \R$, $\K = \C$, $a = i$,
$\kk = \Q$, $\K = \C$, $a = i$,
$\kk = \Q$, $\K = \Q[\sqrt[3]2]$, $a = \sqrt[3]2$,
$\kk = \Z_2$, $\K = \Z_2[\alpha]/(\alpha^2+\alpha+1)$, $a = \alpha+1$,
$\kk = \Q(\sqrt2)$, $\K = \Q(\sqrt2,\sqrt3)$, $a = \sqrt2 + \sqrt3$,
$\kk = \Q$, $\K = \Q(t)$, $a = t$,
$\kk = \Q(t)$, $\K = \Q(\sqrt t)$, $a = \sqrt t + 1$.

Ve kterých případech je onen homomorfismus na?

Podle definice bude generátor $\Ker \varphi_a$ takový polynom, že každý polynom $f \in \kk[x]$ splňující $f(a) = 0$ bude jeho násobkem (v okruhu $\kk[x]$). Taky jistě bude onen generátor mít ze všech takových polynomů nejnižší možný stupeň… Musíme si ale dát pozor na případ, kdy je to jádro nulové.

Pokud je $a$ algebraické nad $\kk$, pak onen generátor bude minimální polynom $a$ nad $\kk$, tj. $m_{a,\kk}$ (nevyžadujeme ovšem nezbytně podmínku moničnosti, ale zas je jasné, že ten generátor je určen jednoznačně až na asociovanost). Určitě jde o polynom, který bude ležet v $\Ker \varphi_a$ a máme-li libovolný jiný nenulový polynom $f$ splňující $f(a) = 0$, pak můžeme $f$ podělit $m_{a,\kk}$ se zbytkem a pokud by zbytek $r$ byl nenulový, pak by šlo o nenulový polynom menšího stupně než $m_{a,\kk}$ splňující $r(a) = 0$, spor s minimalitou – takže $m_{a,\kk}$ dělí $f$ a je tedy hledaným generátorem. Může se stát, že ten ideál bude nulový – to když $a$ bude transcendentní nad $\kk$. Potom je generátorem nulový polynom (★ byť tady by možná fajnšmekři tvrdili, že onen ideál má nula generátorů, podobně jako když triviální vektorový prostor má dimenzi $0$).

$x$,
$x - 1$,
$x^2 + 1$,
$x^2 + 1$,
$x^3 - 2$,
$x^2 + x + 1$,
$x^2 - 2 \sqrt2 x - 1$,
$0$ (ježto $\Ker \varphi_0 = 0$),
$(x - 1 + \sqrt t)(x - 1 + \sqrt t) = x^2 - 2x + 1 - t$.

$\varphi_a$ je surjektivní ve všech případech kromě (d) a (h).

Zobecníme příklad z přednášky. Buď $R \leq S$ rozšíření komutativních okruhů (tj. $R$ je podokruh $S$), $n \in \N$ a $\overline a = (a_1, a_2, \dots, a_n) \in S^n$.

🌞 Ukažte (či si spíš rozmyslete), že „dosazovací“ zobrazení $\varphi_{\overline a}\colon R[x_1, x_2, \dots, x_n] \to S$ definované předpisem $\varphi_{\overline a}(f) = f(a_1, a_2, \dots, a_n)$ je homomorfismus okruhů.
🌞 Rozmyslete si, že pokud $a_1, a_2, \dots, a_n \in R$, pak následující prvky okruhu $R[x_1, x_2, \dots, x_n]$ leží v $\Ker \varphi_{\overline a}$: $x_1-a_1, x_2-a_2, \dots, x_n - a_n$.
Ukažte, že za situace z předchozího bodu polynomy $x_1-a_1, x_2-a_2, \dots, x_n - a_n$ dokonce generují $\Ker \varphi_{\overline a}$ jakožto ideál v $ R[x_1, x_2, \dots, x_n]$.

Vhodnou substitucí lze převést na případ $\overline a = (0,\dots,0) \in R^n$ (byť to není úlpně nutné, ale zpřehlední to situaci); pak vlastně chceme dokázat, že polynom, který má kořen v „počátku“, se dá napsat jako součet násobků $x_1, x_2, \dots, x_n$, kde násobit můžeme libovolnými polynomy z $R[x_1, x_2, \dots, x_n]$. Samotný zápis polynomu jako součtu monomů dává recept&helip;

Jakože toto sepsat by byla hrůza, že jo. Prostě aritmetické operace na okruhu polynomů jsou definovány samozřejmě tak, aby fungovaly i pro „polynomy jakožto funkce“, do kterých „dosazujeme“. Ale abyste neřekli, ukážu třeba, že to zachovává sčítání. Mějme $f = \sum_{(i_1, \dots, i_n) \in \N_0^n} c_{i_1, \dots, i_n} x_1^{i_1}\cdots x_n^{i_n}$, $g = \sum_{(i_1, \dots, i_n) \in \N_0^n} d_{i_1, \dots, i_n} x_1^{i_1}\cdots x_n^{i_n}$, kde všechna céčka a déčka jsou z $R$. Pak \[ \varphi_{\overline a}(f + g) = (f + g)(\overline a) = \sum_{(i_1, \dots, i_n) \in \N_0^n} (c_{i_1, \dots, i_n} + d_{i_1, \dots, i_n})a_1^{i_1}\cdots a_n^{i_n} = \sum_{(i_1, \dots, i_n) \in \N_0^n} c_{i_1, \dots, i_n} a_1^{i_1}\cdots a_n^{i_n} + \sum_{(i_1, \dots, i_n) \in \N_0^n} d_{i_1, \dots, i_n} a_1^{i_1}\cdots a_n^{i_n} = f(\overline a) + g(\overline a) = \varphi_{\overline a}(f) + \varphi_{\overline a}(g), \] kde jsme po řadě použili definici $\varphi_{\overline a}$, definici součtu polynomů, distributivitu, nic zvláštního a konečně definici $\varphi_{\overline a}$. Teď už snad chápete, jak by se to udělalo třeba pro součin.

Prostě když do $x_i - a_i$ dosadím za $x_i$ hodnotu $a_i$, tak dostanu nulu, ne?

Substitucí $x_i = y_i + a_i$ to převedeme na problém generátorů $\Ker\varphi_0$. Řečeno zajímavěji, máme isomorfismus $i$ okruhů $R[y_1, \dots, y_n]$ a $R[x_1, \dots, x_n]$, který posílá $R \mapsto R$ a $y_i \mapsto x_i - a_i$ a zkoumáme jádro $\varphi_{\overline a} \circ i$, kterýžto homomorfismus je přesně $\varphi_0$. Nechť $f \in R[y_1, \dots, y_n]$ splňuje $f(0) = 0$ a označme $I$ ideál v $R[y_1, \dots, y_n]$ generovaný prvky $y_1, \dots, y_n$, naším cílem je ukázat $f \in I$. Když si napíšeme $f$ jako $\sum_{(i_1, \dots, i_n) \in \N_0^n} c_{i_1, \dots, i_n} x_1^{i_1}\cdots x_n^{i_n}$, tak všechny monomy s aspoň jedním $i_k$ nenulovým padnou do $I$, takže jde jen o to, jak to je s absolutním členem $c_{0,\dots,0}x_1^0\cdots x_n^0$. Ovšem onen koeficient $c_{0,\dots,0}$ je přesně roven $f(0)$, tedy musí být nulový. Vidíme tedy, že $\Ker\varphi_0 \subseteq I$ a podle předchozího bodu jsou generátory $I$ všechny v $\Ker\varphi_0$, takže $I \subseteq \Ker\varphi_0$ a dostáváme kýženou rovnost $\Ker\varphi_0 = I$.

Označme $R = \Z_2[\alpha]/(\alpha^2)$. (Explicitně upozorňuji, že $x^2$ evidentně není ireducibilní polynom nad $\Z_2$, jde tedy o novou situaci.)

Kolik bude mít $R$ prvků?
Napište (nebo si představte) tabulku sčítání pro prvky $R$.
Napište (nebo si představte) tabulku násobení pro prvky $R$.
Aplikací první věty o isomorfismu pro okruhy na vhodný homomorfismus $\Z_2[\alpha] \to \Z_2[\beta]/(\beta^2 + 1)$ ukažte, že $\Z_2[\alpha]/(\alpha^2) \cong \Z_2[\beta]/(\beta^2 + 1)$.
Nalezněte vhodný podokruh matic $2\times2$ nad $\Z_2$, který bude isomorfní $R$; i zde lze potenciálně využít první věta o isomorfismu pro okruhy. (Zvládnete nalézt všechny takové podokruhy matic?)

Bude to podobné, jako u konstrukce konečných těles. Prvky budou, formálně vzato, rozkladové třídy $0 + (\alpha^2)$, $1 + (\alpha^2)$, $\alpha + (\alpha^2)$, $1 + \alpha + (\alpha^2)$.

$R$ je (také) dvoudimenzionální vektorový prostor nad $\Z_2$. Sčítání tedy funguje takto (vynechávám ${}+(\alpha^2)$):
$\begin{array}{c|c|c|c|} + & 0 & 1 & \alpha & 1+\alpha \\ \hline 0 & 0 & 1 & \alpha & 1+\alpha \\ \hline 1 & 1 & 0 & 1+\alpha & \alpha \\ \hline \alpha & \alpha & 1+\alpha & 0 & 1 \\ \hline 1+\alpha & 1+\alpha & \alpha & 1 & 0 \\ \hline \end{array}$

Prvky $R$ se budou násobit jako polynomy, jen všechny mocniny $\alpha$ vyšší než $1$ „zmizí“ (protože počítáme „modulo $\alpha^2$“).
$\begin{array}{c|c|c|c|} \cdot & 0 & 1 & \alpha & 1+\alpha \\ \hline 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \hline 1 & 0 & 1 & \alpha & 1+\alpha \\ \hline \alpha & 0 & \alpha & 0 & \alpha \\ \hline 1+\alpha & 0 & 1+\alpha & \alpha & 1 \\ \hline \end{array}$

Aby v tom nebyl příliš zmatek, budu v prvích, které jsou rozkladové třídy, značít ten ideál zlatou barvou. (Troje různé použití kulatých závorek tomu také nepřidává.) Náš homomorfismus $f \colon \Z_2[\alpha] \to \Z_2[\beta]/(\beta^2 + 1)$ bude fungovat tak, že pošle $\alpha$ na $1+\beta + \color{gold}(\beta^2+1)$. Tím už je zcela popsán, obecné $f \in \Z_2[\alpha]$ se pošle na $f(1+\beta) + \color{gold}{(\beta^2+1)}$. (Jde vlastně o složení „substitučního“ homomorfismu $\Z_2[\alpha] \to \Z_2[\beta]$, $\alpha \mapsto 1+\beta$ a „kanonického“ homomorfismu $\Z_2[\beta] \to \Z_2[\beta]/(\beta^2 + 1)$). Jelikož platí $f(\alpha^2) = (1+\beta)^2 + {\color{gold}(\beta^2+1)} = 1^2 + \beta^2 + {\color{gold}(\beta^2+1)} = 0 + \color{gold}(\beta^2+1)$, vidíme, že $\alpha^2 \in \Ker f$, současně žádný nenulový prvek nižšího stupně v $\Ker f$ není, takže $\alpha^2$ je generátorem $\Ker f$ (víme, že $\Z_2[\alpha]$ je obor hlavníh ideálů). Zjevně je $f$ na, takže podle první věty o isomorfismu pro okruhy máme $\Z_2[\alpha]/(\alpha^2) \cong \Z_2[\beta]/(\beta^2 + 1)$.

Musíme poslat $\alpha + (\alpha^2)$ na (nenulovou, aby to byl isomorfismus) matici, jejíž druhá mocnina bude nulová matice. Takové jsou právě tyto tři: \[ \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}. \] Jedničku musíme samozřejmě poslat na jednotkovou matici a nulu na nulovou matici. Snadno se nahlédne, že to nám už jednoznačně dává isomorfismus příslušných okruhů. Kdybychom to chtěli formulovat první větou o isomorfismu, pak si vezmeme jednu z těchto tří matic a vyrobíme okruhový homomorfismus $\Z_2[\alpha] \to \mathbf{M}_2(\Z_2)$, který bude posílat $\alpha$ na onu matici (a tedy libovolný polynom ze $\Z_2[\alpha]$ na příslušný polynom aplikovaný na tu matici, podobně jako v Hamilton-Cayleyho větě). Snadno se nahlédne, že jádro tohoto homomorfismu je přesně ideál generovaný $\alpha^2$.

Vlastně chceme okruh $R$ a homomorfismus $R \to R$, který bude na, ale nebude prostý (1. věta o isomorfismu). Pokud nepotřebujeme obor, pak je to snadné – vezmeme si libovolný (nenulový) okruh $S$ a položíme $R = S \times S \times \ldots$, tj. součin spočetně mnoha kopií $S$. Pak například zobrazení „posun souřadnic o jedna doleva“ bude nepochybně surjektivní okruhový homomorfismus, ale všechny prvky žíjící jen v první souřadnici pošle na nulu. Chceme-li obor, pak můžeme udělat podobnou fintu: $S$ nechť je libovolný obor a položíme $R = S[x_1, x_2, \dots]$ okruh polynomů s nekonečně mnoha neurčitými. To je nepochybně obor a naše zobrazení bude opět „posun souřadnic“, tentokrát ve tvaru $x_1 \mapsto 0$, $x_i \mapsto x_{i-1}$ pro $i \geq 2$.

★ Dodatek: Booleovské svazy, algebry a okruhy

Nepříklad jsou například podprostory vektorového prostoru: není těžké nahlédnout, že spojení (součet) a průnik prostorů nejsou navzájem distributivní.

Infimum je normálně průnik, supremum je vnitřek uzávěru sjednocení, doplněk je (množinový) doplněk uzávěru.

Booleův okruh je komutativní okruh, jehož každý prvek $x$ splňuje $x^2 = x$.

Ukažte, že z Booleovy algebry můžeme „přirozeně“ sestrojit Booleův okruh a naopak.
☆ Pro metrický prostor $X$ vymyslete surjektivní okruhový homomorfismus, který povede z Booleova okruhu odpovídajícího všem podmnožinám $X$ do okruhu odpovídajícího všem regulárním otevřeným množinám. Co je jeho jádro?

Součin bude infimum, součet bude symetrická diference $(x \vee y) \wedge (x \wedge y)^\perp$ a mínus bude doplněk. Supremum $\wedge$ můžeme pomocí okruhových operací pak realizovat jako $x + y + xy$.

Libovolné množině přiřadíme vnitřek jejího uzávěru – to bude regulární otevřená množina. Ověřit homomorfnost tohoto zobrazení je nepochybně výživné cvičení na metrické prostory, já jsem si ho pro jistotu neudělal. Jádro jsou přesně ty množiny, jejichž vnitřek uzávěru je prázdný, tj. řídké množiny.