Topologie a teorie kategorií

… známá též jako NMAG332.

• Přednáška: úterý 15:40 Zoom
• Cvičení: čtvrtek 14:00 Zoom

Poznámky

Zápočet

Zápočet se skládá z topologického a kategoriálního podzápočtu. Oba podzápočty lze získat za aktivní účast na cvičení či za vypracování nějakého úkolu (jednoho z nabídky níže; pokud se vám nelíbí, můžu vvmyslet ještě nějaké jiné). Na zkoušku je možné jít bez zápočtu, deadline na zápočtové úkoly je shodný s deadlinem zapisování zápočtů do SISu (takže asi nějaký konec září).

Aktivní účast může být následujícího typu:

• přímo na cviku prezentujete řešení úloh či o nich aktivně diskutujete,
• aktivně se podílíte na řešení úloh v breakout roomu,
• pošlete mi před cvikem vyřešené úlohy (ne nutně velmi podrobně, ale „srozumitelně“).

Zápočtové úlohy k topologickému podzápočtu

1. Nechť $X$ je topologický prostor a $S$ jeho libovolná podmnožina. Řekneme, že $x \in X$ je hromadný bod $S$, pokud pro každé okolí $U$ bodu $x$ platí $(U \setminus \{x\}) \cap S \neq \emptyset$. Dokažte, že pokud je $X$ $T_1$-prostor, pak je pro každou $S \subseteq X$ množina všech hromadných bodů $S$ uzavřená, a nalezněte příklad ne-$T_1$-prostoru, který tuto vlastnost mít nebude.

Zápočtové úlohy ke kategoriálnímu podzápočtu

1. Buď $F \colon \Set \to \Set$ funktor a $X \in \obj \Set$. Pro libovolnou $A \subseteq X$ definujme $F(A)_X \stackrel{\mathrm{def}} = F(i_A)[F(A)] = \{F(i_A)(a) \mid a \in F(A)\}$, kde $i_A\colon A \hookrightarrow X$ značí inkluzi. Dokažte, že kdykoliv $A, B \subseteq X$ splňují $A \cap B \neq \emptyset$, pak $F(A \cap B)_X = F(A)_X \cap F(B)_X$.
2. Nechť $\C$, $\D$ jsou kategorie, přičemž $\D$ má všechny konečné kosoučiny. Nechť $F, G\colon \C \to \D$ jsou funktory. Definujme funktor $H\colon \C \to \D$ na objektech předpisem $H(A) = F(A) \amalg G(A)$ a na morfismech kanonicky z vlastnosti kosoučinu. Dokažte, že $H = F \amalg G$ v kvazikategorii $\D^\C$.

Zkouška

Zkouška bude písemně-ústní dle preferencí zkoušeného; možnosti jsou

• přesně sepsat odpovědi na zadané otázky bez jakékoliv diskuse,
• prezentovat řešení slovně,
• rozličné kombinace výše uvedeného.

Na zkoušku není potřeba mít zápočet. Po domluvě lze zkoušku uskutečnit online.

Termíny v SISu (kromě „zkoušky na hranicích“) vypisovány nebudou, napište mi a domluvíme se.

Účelem zkoušky je prověřit pochopení klíčových pojmů a schopnost práce s nimi. Otázky budou směřovat jak na topologickou, tak kategoriální část. Nebudou se zkoušet důkazy „těžších“ vět (Urysohnovo lemma, Alexandrovo lemma), ale jejich znění a případné aplikace ano. Stejně tak nebudu chtít precizovat „myšlenky důkazů“.

Struktura zkoušky (co zkoušený dostane za otázky):

• definice pojmů (kat i top),
• tvrzení z přednášky na dokázání (top i kat),
• základní úloha, která prověří porozumění pojmům (top i kat),
• lehce zajímavější úloha – můžete si vybrat, jestli top, nebo kat (uvítám sdělení předem).

Očekávám, že přinejmejším u zajímavější úlohy budu napovídat, i s nápovědami není problém dostat jedničku, když budete dělat smysluplné věci.