Cvičení z Topologie a teorie kategorií
… známých též jako NMAG332.
Úlohy ze cvičení
Zápočet
Zápočet získá právě ten, kdo získá jak kategoriální podzápočet, tak topologický podzápočet. Nejvýše jeden z těchto podzápočtů lze získat za aktivní účast na cvičení, oba podzápočty pak lze získat vyřešením alespoň jedné úlohy z příslušné sady úloh. Vzhledem k aktuálním okolnostem nemohu předvídat, zda bude vůbec možné získat topologický podzápočet za aktivní účast. Pokud tomu tak bude a budete dostatečně aktivní na obou částech cvičení, můžete si vybrat, který z podzápočtů „vyřešíte“ aktivitou a který úlohou.
Vypracované úlohy mi můžete dodat písemně (papírově či elektronicky) kdykoliv do konce akademického roku (ať už toto nastane kdykoliv). Pokud to okolnosti dovolí a vám se nebude chtít sepisovat, můžete mi jejich řešení odprezentovat osobně.
Pokud si z úloh níže nedokážete vybrat, dejte mi vědět a já zkusím dodat nějaké další.
Kategoriální podzápočet
- Buď $F \colon \Set \to \Set$ funktor a $X \in \obj \Set$. Pro libovolnou $A \subseteq X$ definujme $F(A)_X \stackrel{\mathrm{def}} = F(i_A)[F(A)] = \{F(i_A)(a) \mid a \in F(A)\}$, kde $i_A\colon A \hookrightarrow X$ značí inkluzi. Dokažte, že kdykoliv $A, B \subseteq X$ splňují $A \cap B \neq \emptyset$, pak $F(A \cap B)_X = F(A)_X \cap F(B)_X$.
- Buď $\C$ kategorie. Dokažte, že funktor $F\colon \C \to \Set$ je reprezentovatelný (tj. přirozeně isomorfní $\C(A, -)$ pro nějaké $A \in \obj \C$) právě tehdy, když má univerzální dvojici, tj. dvojici $(A, x) \in \obj\C \times F(A)$ takovou, že pro každou dvojici $(B, y) \in \obj\C \times F(B)$ existuje právě jeden $f\in \C(A, B)$ splňující $F(f)(x) = y$.
- Nechť $\C$, $\D$ jsou kategorie, přičemž $\D$ má všechny konečné kosoučiny. Nechť $F, G\colon \C \to \D$ jsou funktory. Definujme funktor $H\colon \C \to \D$ na objektech předpisem $H(A) = F(A) \amalg G(B)$ a na morfismech kanonicky z vlastnosti kosoučinu. Dokažte, že $H = F \amalg G$ v kvazikategorii $\D^\C$.
Topologický podzápočet
- Nechť $X$ je topologický prostor a $S$ jeho libovolná podmnožina. Řekneme, že $x \in X$ je hromadný bod $S$, pokud pro každé okolí $U$ bodu $x$ platí $(U \setminus \{x\}) \cap S \neq \emptyset$. Dokažte, že pokud je $X$ $T_1$-prostor, pak je pro každou $S \subseteq X$ množina všech hromadných bodů $S$ uzavřená, a nalezněte příklad ne-$T_1$-prostoru, který tuto vlastnost mít nebude.
- Na cvičení jsme si ukazovali, že $2^\R$ je separabilní topologický prostor, tj. má spočetnou hustou podmnožinu (zde $2$ značí dvoubodový diskrétní prostor). Nalezněte nějaký jeho neseparabilní podprostor a dokažte, že vskutku není separabilní.
