• View
• Edit
• History
• Print

GeometrieZS2223

Geometrie (NMTM505, pro Učitelství)

1.listopadu

Eukleidovy Základy a konstrukce pravítkem a kružítkem

• první čtyři Eukleidovy postuláty (neutrální geometrie)
• konstrukce pravítkem a kružítkem, konstruovatelnost pravidelných n-úhelníků, nemožnost zdvojení krychle, trisekce úhlu, zdvojení krychle
• poznámky ke konstrukcím a n-úhelníkům
• jedna konstrukce pravidelného pětiúhelníku
• skripta D. Stanovského - algebraický pohled na konstruovatelnost na str. 105 - 108
• Stillwell: Numbers and Geometry - návod na elementární důkaz nekonstruovatelnosti třetí odmocniny ze dvou na straně 77

8.listopadu

Pátý postulát a neeukleidovská geometrie

• pátý postulát o rovnoběžkách, jeho důsledky a historie s ním spojená
• prezentace - vývoj geometrie od Eukleidových postulátů přes analytickou geometrii až po Kleinův erlangenský program
• HyperRogue - hra, v rámci níž se můžete do neeukleidovské geometrie skutečně ponořit (včetně tutoriálu k hyperbolické geometrii samotné, lokalizace do češtiny, možnosti přepínání do různých geometrii a do různých modelů hyperbolické geometrie)
• úvod do afinní geometrie jakožto příkladu Kleinovy geometrie (dvojice (množina, grupa transformací na ní))

15.listopadu

Afinní geometrie

• invarianty afinní geometrie(rovnoběžnost, dělící poměr), Základní věta afinní geometrie, aplikace na důkazy některých vět (středy rovnoběžných tětiv elipsy leží na přímce, Cevova věta, opak Cevovy věty, Menelaova věta). Stručný přehled.
• volně podle učebnice Brannan, Esplen, Gray: Geometry, zhruba v rozsahu oddílů 2.1, 2.3 a 2.4

22. listopadu

Projektivní geometrie I

• projektivizace vektorového prostoru, projektivní rovina, projektivní bod a přímka, grupa projektivních transformací, Základní věta projektivní geometrie, aplikace na důkazy některých vět (Desarguesova věta)
• Brannan, Esplen, Gray, zhruba oddíly 3.2, 3.3 a 3.4
• doplněno do stručného přehledu.

29. listopadu

Projektivní geometrie II

• dokončení důkazu Desarguesovy věty, kanonické vnoření a souvislost s afinní geometrií
• odbočka ke konečným projektivním geometriím a Dobblu (trochu podrobnější prezentace zde).

6. prosince

Projektivní geometrie III

• dvojpoměr, harmonická čtveřice, dualita, její ilustrace na duální Desarguesově větě a na dualitě Pappovy a Brianchonovy věty (bez důkazu),
• komplexní projektivní přímka, její projektivní transformace a souvislost s kruhovou inverzí
• Brannan, Esplen, Gray, oddíly 3.4 a 3.5
• doplněno do stručného přehledu.

13. prosince

Moebiova grupa

• vlastnosti kruhové inverze, Moebiova grupa
• Brannan, Esplen, Gray, zhruba oddíly 5.1, 5.2, 5.3, 5.4

20. prosince

Poincarého kruhový model hyperbolické geometrie

• výroba papírového modýlku pseudosféry, hyperbolická geometrie v kontextu geometrie diferenciální
• Poincarého model kruhu, grupa přímých a nepřímých hyperbolických transformací, existence přímé transformace zobrazující vybraný bod na nulu, součet vnitřních úhlů hyoerbolického trojúhelníku
• Brannan, Esplen, Gray, zhruba oddíly 6.1, 6.2
• zkouška sestává z 3-4 otázek, mezi nimiž se vždy vyskytne nejméně jeden početní příklad (typový přehled), nejméně jedna formulace věty s důkazem a nejméně jedno širší téma typu "Konstrukce pravítkem a kružítkem".

3. ledna

Vzdálenost v hyperbolické geometrii

• věta o souvislosti podobnosti a shodnosti trojúhelníků, zavedení vzdálenosti na Poincarého kruhu, Pythagorova věta na Poincarého kruhu, další modely hyperbolické geometrie a vztahy mezi nimi.
• Brannan, Esplen, Gray, zhruba oddíly 6.3, 6.4