Lineární algebra pro fyziky, ZS 07/08
Cvičení k přednášce prof. Součka, který stanovil jednotné podmínky zápočtu. Jakožto cvičící mám v kompetenci sedm bodů, které budu přidělovat na základě počítání u tabule a domácích úkolů. Potřebujete mít dva body, abyste dostali zápočet.
Tradiční literatura pro fyzikální verzi Lineární algebry obsahuje tyto dvě publikace:
Přednáška má ale v zimním semestru značný překryv se svou informatickou a matematickou verzí, takže další vhodné materiály můžete najít v doporučené literatuře k těmto přednáškám a na stránkách jejich učitelů. Pod odkazem Výuka v levém menu se dostanete například ke stránkám mých loňských cvičení pro matematiky a na nich je odkaz do webového kurzu LA. Tam jsou nějaké učební texty a taky spousta příkladů (u kterých se bohužel trochu rozsypalo formátování přechodem na novou verzi systému, ale číst se to dá).
Novinky, úkoly
26.12. Vánoční dárečky:
Globální označení: ⚠ {$V = R^4$},⚠ {$W = R^3$}, skalární součin je vždy standardní, K je kanonická báze ve V, K' je kanonická báze ve W, ⚠ {$M=\{v_1,v_2,v_3,v_4\} =\{(1,1,1,0),(1,1,0,1),(1,0,1,1),(0,1,1,1)\} $}, ⚠ {$N= \{w_1,w_2,w_3\} =\{(1,1,-1),(1,-1,1),(-1,1,1)\}$},
1. Najděte matici lineárního zobrazení ⚠ {$p \circ f:W \mapsto V$}, kde ⚠ {$f(w_1)=(1,0,1,0), f(w_2)=(2,0,1,0), f(w_3)=(0,0,0,1)$} a p je ortogonální projekce na ⚠ {$L(v_1,v_2)$} vzhledem ke kanonickým bázím. Určete jádro, obraz a hodnost zobrazení.
2. Najděte matici lineárního zobrazení ⚠ {$f \circ p:V \mapsto W $}, kde p je ortogonální projekce na podprostor ⚠ {$L(v_1,v_2,v_4)$} a ⚠ {$f((a,b,c,d)):=(a,c+a,b)$}, vzhledem ke K a N. Určete jádro, obraz a hodnost zobrazení.
3. Najděte matici lineárního zobrazení ⚠ {$f \circ p:V \mapsto V $}, kde p je ortogonální projekce na podprostor ⚠ {$L(v_2,v_3)$} a ⚠ {$f((a,b,c,d)):=(a,c+a,b,b+a)$}, vzhledem ke K a M. Určete jádro, obraz a hodnost zobrazení.
4. Najděte matici lineárního zobrazení ⚠ {$f \circ p:W \mapsto V $}, kde p je ortogonální projekce na podprostor ⚠ {$L(w_2,w_3)$} a ⚠ {$f((a,b,c)):=(a,c+a,b,b+a)$}, vzhledem ke K' a M. Určete jádro, obraz a hodnost zobrazení.
5. Najděte matici lineárního zobrazení ⚠ {$g \circ f:V \mapsto V$}, kde ⚠ {$f(v_1)=(1,0,0), f(v_2)=(2,1,0), f(v_3)=(0,0,0), f(v_4)=(0,1,1)$} a ⚠ {$g((a,b,c)):=(a,c+a,b,b+a)$} vzhledem ke kanonickým bázím. Určete jádro, hodnost a obraz zobrazení.
6. Najděte matici lineárního zobrazení ⚠ {$p \circ f^{-1}:V \mapsto V$}, kde ⚠ {$f(v_1)=(0,1,1,0), f(v_2)=(2,0,1,0), f(v_3)=(0,0,0,1), f(v_4)=(0,0,1,1)$} a p je ortogonální projekce na ⚠ {$L(v_1,v_4)$} vzhledem k bázím M a K. Určete jádro, obraz a hodnost zobrazení.
7. Najděte matici lineárního zobrazení ⚠ {$p \circ f:V \mapsto V$}, kde ⚠ {$f(v_1)=(0,1,1,0), f(v_2)=(2,0,1,0), f(v_3)=(0,0,0,1), f(v_4)=(0,0,1,1)$} a p je ortogonální projekce na ortogonální doplněk prostoru ⚠ {$L(v_1,v_4)$} vzhledem ke kanonickým bázím. Určete jádro, obraz a hodnost zobrazení.
8. Najděte matici lineárního zobrazení ⚠ {$f^{-1}:V \mapsto V$}, kde ⚠ {$f(v_1)=(0,1,1,0), f(v_2)=(2,0,1,0), f(v_3)=(0,0,0,1), f(v_4)=(x,0,1,1)$}, vzhledem ke kanonickým bázím, a to pro všechna reálná x, pro která je inverzní zobrazení definováno. Spočítejte determinant ⚠ {$f^{-1}$}
9. Najděte ortogonální bázi ⚠ {$P=\{u_1,u_2,u_3\} $} prostoru ⚠ {$V'=L(v_2,v_3,v_4)$} a určete matici přechodu od P k ⚠ {$ \{v_3,v_4,v_2 \} $} a naopak. Spočítejte determinant obou matic.
10. Najděte ortogonální bázi ⚠ {$P=\{u_1,u_2,u_3\} $} prostoru ⚠ {$V'=L(v_1,v_2,v_4)$} a určete matici přechodu od P k ⚠ {$ \{ v_2,v_4,v_1 \} $} a naopak. Spočítejte determinant obou matic.
11. Najděte ortogonální bázi ⚠ {$P=\{u_1,u_2\} $} prostoru ⚠ {$V'=L(v_1,v_3)$} a jeho ortogonálního doplňku. Zobrazte oba prostory pomocí zobrazení ⚠ {$f:V \mapsto V$}, kde ⚠ {$f(v_1)=(0,1,1,0), f(v_2)=(2,0,1,x), f(v_3)=(x,0,0,1), f(v_4)=(0,0,1,1)$} a určete dimenzi jejich obrazů, jejich spojení a jejich průniku v závislosti na ⚠ {$x \in R$}
12. Najděte ortogonální bázi ⚠ {$P=\{u_1,u_2\} $} prostoru ⚠ {$V'=L(v_2,v_4)$} a jeho ortogonálního doplňku. Zobrazte oba prostory pomocí zobrazení ⚠ {$f:V \mapsto V$}, kde ⚠ {$f(v_1)=(0,1,1,x), f(v_2)=(2,0,1,0), f(v_3)=(x,0,0,1), f(v_4)=(1,0,1,1)$} a určete dimenzi jejich obrazů, jejich spojení a jejich průniku v závislosti na ⚠ {$x \in R$}
13. Určete matici ortogonální projekce na ortogonální doplněk obrazu zobrazení definovaného ⚠ {$f((a,b,c)):=(a,c+a,b,b+a)$}.
14. Najděte všechna x, pro která
⚠ {$$ \left| \begin{array}{rrrr} x & 0 & 1 & 0 \\ 2 & x & 3 & 1\\ 4 & 5 & 6 & 1 \\ 1 & 1 & 6 & 3 \\ \end{array} \right|=0 $$}
15. Najděte všechna x, pro která
⚠ {$$ \left|\begin{array}{rrrr} 1 & 0 & x & 0 \\ 2 & 0 & 3 & 1\\ 4 & 5 & 6 & 1 \\ x & 1 & 6 & 3 \\ \end{array} \right|=0 $$}
16. Najděte všechna x, pro která
⚠ {$$ \left| \begin{array}{rrrr} 1 & 0 & x & 0 & 1 \\ 2 & 0 & 3 & 1 & -1\\ 4 & 5 & 6 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 6 & 3 & 2\\ 1 & 2 & 4 & -3 & 0\\ \end{array} \right|=0 $$}
17. Najděte druhý řádek inverzní matice k matici
⚠ {$$ \left( \begin{array}{rrrrr} x & a & b & 0 & c \\ 0 & y & 0 & 0 & d \\ 0 & e & z & 0 & f \\ g & h & k & u & l \\ 0 & 0 & 0 & 0 & v \end{array} \right) $$}
18. Numerické přiblížení n-té derivace: pro každé ⚠ {$n \in N$} a každou volbu
vesměs různých reálných čísel ⚠ {$\alpha_0, \alpha_1, \ldots, \alpha_n$} najděte
reálné koeficienty ⚠ {$q_0, q_1, \ldots, q_n$}, aby
⚠ {$$ \lim_{h \to 0} \frac{\sum_{i=0}^n q_i f(x+h\alpha_i)}{h^n}=f^(n). $$}
Pomocí L'Hospitalova pravidla převeďte tuto podmínku na soustavu n+1 lineárních
rovnic a tu pak řešte Cramerovým pravidlem.
19. Dokažte, že množina všech unitárních matic s determinantem 1 tvoří grupu.
20. Nechť ⚠ {$Ax=b$} je soustava lineárních rovnic, mající alespoň jedno řešení. Určete nutnou a postačující podmínku, aby proměnná ⚠ {$x_k$} měla hodnotu nula v každém řešení této soustavy a dokažte.
21. Nechť ⚠ {$Ax=b$} je soustava lineárních rovnic, mající alespoň jedno řešení. Určete nutnou a postačující podmínku, aby proměnná ⚠ {$x_k$} měla stejnou hodnotu v každém řešení této soustavy a dokažte.
22. Dokažte, že každou matici lze rozložit na součin LU, kde L je dolní trojúhelníková a U je horní trojúhelníková matice.
23. Dokažte, že každou reálnou čtvercovou matici lze rozložit na součet symetrické a antisymetrické matice a že tento rozklad je jednoznačný. Určete dimenzi prostoru všech symetrických matic řádu n a všech antisymetrických matic řádu n a ukažte, že prostor všech čtvercových matic řádu n je jejich direktním součtem.
24. Dokažte, že každou komplexní čtvercovou matici lze rozložit na součet hermitovské a antihermitovské matice a že tento rozklad je jednoznačný. Zjistěte, zda jsou množiny hermitovských a antihermitovských matic daného řádu vektorovými podprostory množiny všech komplexních čtvercových matic, a sice podprostory nad tělesem reálných, resp. komplexních čísel. V závislosti na tom určete dimenzi prostoru všech hermitovských matic řádu n a všech antihermitovských matic řádu n.
Přidělení úkolů je uvedeno dole v tabulce. Kdokoli, kdo má momentálně alespoň 4 body, může místo libovolného přiděleného příkladu spočítat libovolný z rozmezí od 18. do 24. příkladu. Ostatní mohou příklady číslované 18 až 24 spočítat navíc k těm, které mají přiděleny. Pokud objevíte nesrovnalost v zadání, napište mi mail.
4.12. Úkoly:
Vaňkát, Šmilauerová: Permutaci
⚠ {$$\pi=\left(\begin{array}{rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 & 17 \\10 & 8& 12& 3 & 16& 11& 4 & 5 & 15& 1 & 14 & 7 & 2 & 9 & 6 & 17 & 13 \end{array}\right)$$}
rozložte na nezávislé cykly, určete ⚠ {$\pi^{2006}$} a nejmenší ⚠ {$k>1000$} takové, že ⚠ {$\pi^k=\pi^{-1}$}.
Přibyl, Štefániková:
Vyčíslete reálný determinant
⚠ {$$\left|\begin{array}{rrrrr}1 & 1 & 2 & 2 & 5 \\ 5 & 1 & 3 & -2 & 1 \\ 1 & 7 & -4 & 3 & 3 \\ 2 & 0 & 0 & 4 & -2 \\ 1 & 6 & 1 & -1 & 2 \end{array}\right| $$}
Šrámek, Gregorová:
Převodem na trojúhelníkový tvar spočtěte determinant
⚠ {$$\left|\begin{array}{rrrrr}a_1 & x & x & \ldots & x \\ x & a_2 & x & \ldots & x \\ x & x & a_3 & \ldots & x \\\vdots&& & \ddots & \vdots\\ x & x & x & \ldots & a_n \end{array}\right|$$}
Šiffel, Dufek: Řešte Cramerovým pravidlem soustavu rovnic
⚠ {$$\begin{array}{r}2x + 3y + 5z = 10 \\ 3x + 7y + 4z = 3 \\ x + 2y + 2z = 3\end{array}$$}
Slovák, Pour: Vypočtěte determinant
⚠ {$$\left|\begin{array}{ccccc}a_0 & a_1 & a_2 & \ldots & a_n \\ a_0 & x & a_2 & \ldots & a_n \\ a_0 & a_1 & x & \ldots & a_n \\ \vdots& & & \ddots & \vdots\\ a_0 & a_1 & a_2 & \ldots & x \end{array}\right|$$}
Červenkov, Daněk: Jak se změní determinant matice, jestliže ji převrátíme podle středu? Odůvodněte.
Příbramský, Pagáčová: Jak se změní determinant matice, jestliže ji převrátíme podle vedlejší diagonály? Odůvodněte.
Pavelka, Dinnbier: Jak se změní determinant matice, jestliže ji pootočíme o devadesát stupňů? Odůvodněte.
Hoza, Berta: Určete součet determinantů všech čtvercových matic řádu n, které obsahují právě n jedniček a zbylé elementy jsou nula.
Javůrek, Bilka: Dokažte, že pokud pro libovolné indexy ⚠ {$i_1, \ldots , i_k$};
⚠ {$j_1, \ldots, j_l$} platí ⚠ {$a_{i_a j_b}=0$} a ⚠ {$k+l>n$}, pak je determinant matice ⚠ {$a_{ij}$}
roven nule.
Kubelka, Einšpigel: Jak se změní determinant, pokud do druhého řádku přičteme minus první řádek, do třetího minus druhý, atd., a do prvního řádku přičteme minus poslední? Celou úpravu provádíme naráz. Zdůvodněte.
Klíma, Pokorný: Jak se změní determinant matice, pokud její ⚠ {$(i,j)$}-tý element vynásobíme ⚠ {$c^{i-j}$}, ⚠ {$c \in R$}? Zdůvodněte.
Brožek, Jirka: Dokažte, že determinant antisymetrické matice lichého řádu je nula.
Touška, Pácalt: Spočtěte determinant
⚠ {$$\left|\begin{array}{cccccc}x & y & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ 0 & x & y & \ldots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & x & \ldots & 0 & 0 \\ \vdots&& & \ddots & & \vdots\\ 0 & 0 & 0 & \ldots & x & y \\ y & 0 & 0 & \ldots & 0 & x \end{array} \right|$$}
Motloch, Šimsa: Spočtěte determinant
⚠ {$$\left| \begin{array}{cccccc} 2 & 1 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & \ldots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & \ldots & 0 & 0 \\ \vdots&& & \ddots & & \vdots\\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 1 & 2 \end{array} \right|$$}
Vávra, Tintěra: Spočtěte determinant
⚠ {$$\left| \begin{array}{cccccc} 3 & 2 & 2 & \ldots & 2 & 2 \\ 2 & 3 & 2 & \ldots & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 3 & \ldots & 2 & 2 \\ \vdots&& & \ddots & & \vdots\\ 2 & 2 & 2 & \ldots & 3 & 2 \\ 2 & 2 & 2 & \ldots & 2 & 3 \end{array} \right|$$}
29.11. Tak tady opravuju vaše domácí úlohy a místy to není pěkný pohled. Abychom mohli občas dělat na cvičení něco zajímavějšího (a taky abyste pak udělali zkoušku), musíte sami zvládnout základní definice a algoritmy:
Hledání ortogonálního doplňku,
GS - ortogonalizace,
určení matice zobrazení, matice přechodu a změny matice zobrazení při přechodu do jiných souřadnic, hodnost matice a hodnost zobrazenírozhodnutí o lineární závislosti, řešení soustav lineárních rovnic. Ještě přibude pár dalších.
Úkoly nad rámec již zadaných:
Pavelka, Bilka: Vyjádřete souřadnice vektoru vůči ortonormální bázi pomocí skalárního součinu.
Červenkov, Šimsa: Dokažte, že zobrazení projekce na vektorový prostor ⚠ {$\langle v_1,v_2 \rangle $} je rovno součtu zobrazení projekce na podprostory ⚠ {$\langle v_1 \rangle $} a ⚠ {$\langle v_2 \rangle $} právě když ⚠ {$ v_1 \perp v_2 $}.
Pácalt, Přibyl: Nechť ⚠ {$v \in R^3$} je pevný vektor. Najděte matici zobrazení ⚠ {$f: R \to R$}, ⚠ {$f(x)=v \times x $}, kde ⚠ {$\times $} značí vektorový součin, vzhledem k bázi ⚠ {$ M= \{ (1,1,0), (1,-1,0), (0,0,1) \} $}. Najděte jádro a obraz tohoto zobrazení.
Jirka, Tintěra: Určete znaménko permutace na n prvcích, která i-tému prvku přiřazuje (n-i)-tý prvek.
Pokorný, Einšpigel: Rozložte permutaci na nezávislé cykly a na transpozice a určete její znaménko oběma metodami:
⚠ {$$\left( \begin{array}{rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 & 17 \\ 8 & 10& 12& 3 & 16& 11& 4 & 5 & 15& 17 & 14 & 7 & 2 & 9 & 6 & 1 & 13 \end{array} \right) $$}
Další zase příště.
21.11. Předání minulých domácích úkolů a písemek přesuneme na pondělí. Do té doby prosím vypracujte tyto domácí úlohy:
Dřínek, Klíma: Najděte ortogonální doplněk prostoru ⚠ {$\langle(1,2,3,0)\rangle$}.
Pour, Slovák: Najděte matici ortogonální projekce na podprostor z předchozí úlohy a na jeho ortogonální doplněk.
Einšpigel, Kubelka: Najděte ortogonální doplněk prostoru ⚠ {$\langle(1,0,1,0),(0,1,0,1)\rangle $}
Daněk, Hoza: Najděte matici ortogonální projekce na podprostor z předchozí úlohy.
Štefániková, Šiffel: Najděte bázi ⚠ {$\langle(1, - 2,2,0),(1, - 2,2,3),( - 1,1,0,0)\rangle$} obsahující kladný násobek vektoru ⚠ {$(1, - 2,2,0)$}
Přibyl, Pácalt: Najděte ortogonální bázi ⚠ {$\langle(1,2,3,4)\rangle$} a jeho ortogonálního doplňku.
Gregorová, Šrámek: Buď ⚠ {$(R^3,g)$} prostor se skalárním součinem ⚠ {$g$} a buď ⚠ {$ |u|_g^2 = x_1^2 + x_2^2 + 2 x_3^2 + 2 x_2 x_3 $} kvadrát normy vytvořené tímto skalárním součinem. Najděte ortonormální bázi podprostoru ⚠ {$\langle (1,1,0),(1,2,1)\rangle $} vůči tomuto skalárnímu součinu a rozšiřte ji na ortonormální bázi prostoru ⚠ {$R^3$}.
Dufek, Příbramský: Najděte ortogonální bázi prostoru polynomů stupně nejvýše čtyři se skalárním součinem ⚠ {$ (p,q)=\int_{-1}^1 p(x) q(x) dx $}.
Pokud není uvedeno jinak, myslí se vektorový prostor ⚠ {$R^k$} s kanonickým skalárním součinem a kanonické báze.
13.11. Konzultace bude ve středu 14.11. od 17:30 v místnosti T4.
7.11. Úkoly, tentokrát přidělené:
Globální označení: V= prostor všech polynomů stupně nejvýše 2 nad ⚠ {$Z_5$}. ⚠ {$V \supset M=\{x^2+3x+1,2x^2+x+1,x^2+2\} $},⚠ {$V \supset N=\{2x^2+x+1,x^2+4x+4,x^2+3x\} $} ⚠ {$V \supset K=\{1,x,x^2\} $}
Pro Radima Slováka a Petra Poura: Ověřte, že M je báze a najděte matici přechodu od M ke K a od K k M.
Pro Milana Vaňkáta a Davida Einšpigela: Ověřte, že M a N jsou báze a najděte matici přechodu od M k N.
Pro Milana Šrámka a Martinu Pagáčovou: Najděte matici zobrazení G z V do V, které polynomu p(x) přiřazuje polynom 3p'(x)+p(x), kde p'(x) značí derivaci, vzhledem k bázím M a N.
Pro Erika Šiffela a Vratislava Dřínka: Zjistěte, zda existuje inverzní lineární zobrazení k zobrazení G definovanému v předchozí úloze. Pokud ano, určete jeho matici vzhledem k bázím N a K. Pokud ne, určete jeho jádro a obraz.
Pro Petra Hozu a Martina Pokorného: Najděte matici zobrazení F z V do V, které polynomu p(x) přiřazuje polynom p'(x)+2p(x), kde p'(x) značí derivaci, vzhledem k bázím K a M.
Pro Daniela Klímu a Esteru Štefánikovou: Zjistěte, zda existuje inverzní lineární zobrazení k zobrazení F definovanému v předchozí úloze. Pokud ano, určete jeho matici vzhledem k bázím M a N. Pokud ne, určete jeho jádro a obraz.
Pro Daniela Červenkova a Josefa Pácalta: Dokažte, že pro libovolné lineární zobrazení vektorových prostorů konečné dimenze je hodnost jeho matice vůči libovolným bázím P a Q stejná jako hodnost vůči libovolným dvěma jiným bázím R a S.
29.10. Úkoly slíbené dnes:
Pro Tomáše Javůrka a Petera Bertu - Nechť V je vektorový prostor nad T, ⚠ {$ \{u_j \in V, 1 \leq j \leq k\} $} je lineárně nezávislá množina vektorů a ⚠ {$s_{ij} \in T, 1 \leq j \leq k, 1 \leq i \leq n $} jsou skaláry. Označme ⚠ {$ M = \{v_i \in V, 1 \leq i \leq n\} $}, kde ⚠ {$ v_i = \sum_{j=1}^k s_{ij} u_j $} a ⚠ {$N= \{r_i \in T^k, 1 \leq i \leq n\} $}, kde ⚠ {$r_i = (s_{i1},s_{i2},\ldots,s_{ik}) $}. Dokažte, že množina M je lineárně nezávislá, právě když je lineárně nezávislá množina N.
Pro Pavla Motlocha a Daniela Šimsu - Dokažte, že pro libovolné dvě matice, pro něž je definován součin, platí ⚠ {$ h(AB) \leq \min(h(A),h(B)) $}.
Pro Šárku Gregorovou a Kryštofa Toušku - Najděte všechna řešení soustavy rovnic nad tělesem
⚠ {$ Z_5 $}:
⚠ {$$\left(\begin{array}{rrrrrrr}2 & 4 & 0 & 0 & 1 & | & 3 \\ 0 & 3 & 1 & 1 & 4 & | & 2 \\ 1 & 0 & 3 & 2 & 1 & | & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 2 & 1 & | & 0 \end{array}\right) $$}
Pro Josefa Pácalta a Michala Pavelku - Určete vektor ⚠ {$ (a,b,c) \in C^3 $} tak, aby byl násobkem řešení ⚠ {$ (x,y,z) $} soustavy
⚠ {$$\begin{align}4x - 2y + 2z &=a \\ 2x+2z &=b \\ -x+y+z &=c \end{align}$$}.
2.10. Slíbil jsem dva domácí úkoly navíc:
Pro Kryštofa Toušku: Najděte polynom třetího stupně, jehož graf obsahuje body (0,1); (1,-1); (2,5) a (3,37).
Pro Michala Pavelku: Najděte všechna řešení soustavy rovnic v modulární aritmetice ⚠ {$Z_7$}:
⚠ {$$\left(\begin{array}{rrrrr}3 & 5 & 0 & | & 1 \\1 & 2 & 2 & | & 4 \\1 & 3 & 2 & | & 3\end{array}\right)$$}
Skupina od 12:20
| Jméno | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | Přiděleno | Z |
| P.Motloch | + | + | + | + | | + | + | | + | | 7 |
| R.Slovák | | | | | | | | | + | 2,8-,10,15+ | 2 |
| M.Šrámek | | | | | + | | | | + | 1,9,17 | 2 |
| F.Přibyl | | | ++ | + | | | | | + | 3,8,16+ + | 5 |
| M.Vaňkát | | | | | | | | + | + | 4-,11+,14+ | 4 |
| D.Červenkov | + | | | | | | | | + | 1+,7+,17+ +++ | 7 |
| P.Hoza | | | | | | + | + | | | 5+,12-,16+ | 4 |
| M.Pavelka | | + | + | | | | + | + | | 6,9,15 | 4 |
| V.Kubelka | | | ++ | | | | + | | + | 2,5+,13 | 5 |
| P.Brožek | | ++ | ++ | | | + | | | + | 7+ | 7 |
| T.Javůrek | + | | | | + | + | | + | ++ | 8- + | 7 |
| K.Touška | | + | + | | + | | | + | + | 6,13- + | 6 |
| V.Příbramský | | | | | | + | | | | 1+,5+,12,16+ | 4 |
| S.Vávra | | + | | | | + | | | + | 2,7,15+ | 4 |
| D.Klíma | | | | + | | | | | | 3,6,11,14+ | 2 |
| E.Šiffel | | | | | | | | | | 1,5,8,12,17 | 0 |
Skupina od 14:00
| Jméno | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | Úkoly | Z |
| P.Pour | | | | | | | | | | 1,4,8,12,17 | 0 |
| J.Daněk | + | | | | | | + | + | + | 2-,9+,16+ | 6 |
| D.Einšpigel | | | | | | + | + | | | 3-,7+,15+ | 4 |
| J.Pácalt | | | | | | | | | + | 4,7+,10-,14 | 2 |
| D.Šimsa | + | + | | + | + | | | + | + | 6- | 6 |
| P.Berta | | | | + | + | | | | + | 5,11,13 | 3 |
| M.Pokorný | | | | | | | + | | | 2,7,12,16+ | 2 |
| T.Bilka | | | | | + | | | + | | 3,8+,17+ | 4 |
| F.Dinnbier | | | | | + | | | | + | 1+,9+,14+ | 5 |
| Š.Gregorová | | | | | + | | + | | | 3,7,16+ | 3 |
| M.Pagáčová | | | | | | | + | | ++ | 5,12,17 | 3 |
| L.Dufek | + | + | | | | | | | | 6,10,15 | 2 |
| M.Jirka | | + | | + | | | | + | | 2,11,16+ | 4 |
| T.Tintěra | | + | | | | | | | + | 3-,8+,13+ + | 5 |
| E.Štefániková | | | | | | | | | + | 4,9+,14+, 17- | 3 |
| J.Šmilauerová | | | | | + | | | | + | 3+,10+,17- | 4 |
| V.Dřínek | | | | | | | | | | 1,6,12,15,17 ++ | 2 |
Legenda: + znamená bod získaný na daném cvičení (za domácí úkol nebo počítání u tabule), ? znamená přidělený domácí úkol k odevzdání na daném cvičení
