• View
• Edit
• History
• Print

LAproFZS0708

Lineární algebra pro fyziky, ZS 07/08

Cvičení k přednášce prof. Součka, který stanovil jednotné podmínky zápočtu. Jakožto cvičící mám v kompetenci sedm bodů, které budu přidělovat na základě počítání u tabule a domácích úkolů. Potřebujete mít dva body, abyste dostali zápočet.

Tradiční literatura pro fyzikální verzi Lineární algebry obsahuje tyto dvě publikace:

• Motl, Zahradník: Pěstujeme lineární algebru
• Výborný, Zahradník: Používáme lineární algebru

Přednáška má ale v zimním semestru značný překryv se svou informatickou a matematickou verzí, takže další vhodné materiály můžete najít v doporučené literatuře k těmto přednáškám a na stránkách jejich učitelů. Pod odkazem Výuka v levém menu se dostanete například ke stránkám mých loňských cvičení pro matematiky a na nich je odkaz do webového kurzu LA. Tam jsou nějaké učební texty a taky spousta příkladů (u kterých se bohužel trochu rozsypalo formátování přechodem na novou verzi systému, ale číst se to dá).

Novinky, úkoly

26.12. Vánoční dárečky:

Globální označení: V = R^4,W = R^3, skalární součin je vždy standardní, K je kanonická báze ve V, K' je kanonická báze ve W, M=\{v_1,v_2,v_3,v_4\} =\{(1,1,1,0),(1,1,0,1),(1,0,1,1),(0,1,1,1)\} , N= \{w_1,w_2,w_3\} =\{(1,1,-1),(1,-1,1),(-1,1,1)\},

1. Najděte matici lineárního zobrazení p \circ f:W \mapsto V, kde f(w_1)=(1,0,1,0), f(w_2)=(2,0,1,0), f(w_3)=(0,0,0,1) a p je ortogonální projekce na L(v_1,v_2) vzhledem ke kanonickým bázím. Určete jádro, obraz a hodnost zobrazení.

2. Najděte matici lineárního zobrazení f \circ p:V \mapsto W , kde p je ortogonální projekce na podprostor L(v_1,v_2,v_4) a f((a,b,c,d)):=(a,c+a,b), vzhledem ke K a N. Určete jádro, obraz a hodnost zobrazení.

3. Najděte matici lineárního zobrazení f \circ p:V \mapsto V , kde p je ortogonální projekce na podprostor L(v_2,v_3) a f((a,b,c,d)):=(a,c+a,b,b+a), vzhledem ke K a M. Určete jádro, obraz a hodnost zobrazení.

4. Najděte matici lineárního zobrazení f \circ p:W \mapsto V , kde p je ortogonální projekce na podprostor L(w_2,w_3) a f((a,b,c)):=(a,c+a,b,b+a), vzhledem ke K' a M. Určete jádro, obraz a hodnost zobrazení.

5. Najděte matici lineárního zobrazení g \circ f:V \mapsto V, kde f(v_1)=(1,0,0), f(v_2)=(2,1,0), f(v_3)=(0,0,0), f(v_4)=(0,1,1) a g((a,b,c)):=(a,c+a,b,b+a) vzhledem ke kanonickým bázím. Určete jádro, hodnost a obraz zobrazení.

6. Najděte matici lineárního zobrazení p \circ f^{-1}:V \mapsto V, kde f(v_1)=(0,1,1,0), f(v_2)=(2,0,1,0), f(v_3)=(0,0,0,1), f(v_4)=(0,0,1,1) a p je ortogonální projekce na L(v_1,v_4) vzhledem k bázím M a K. Určete jádro, obraz a hodnost zobrazení.

7. Najděte matici lineárního zobrazení p \circ f:V \mapsto V, kde f(v_1)=(0,1,1,0), f(v_2)=(2,0,1,0), f(v_3)=(0,0,0,1), f(v_4)=(0,0,1,1) a p je ortogonální projekce na ortogonální doplněk prostoru L(v_1,v_4) vzhledem ke kanonickým bázím. Určete jádro, obraz a hodnost zobrazení.

8. Najděte matici lineárního zobrazení f^{-1}:V \mapsto V, kde f(v_1)=(0,1,1,0), f(v_2)=(2,0,1,0), f(v_3)=(0,0,0,1), f(v_4)=(x,0,1,1), vzhledem ke kanonickým bázím, a to pro všechna reálná x, pro která je inverzní zobrazení definováno. Spočítejte determinant f^{-1}

9. Najděte ortogonální bázi P=\{u_1,u_2,u_3\} prostoru V'=L(v_2,v_3,v_4) a určete matici přechodu od P k \{v_3,v_4,v_2 \} a naopak. Spočítejte determinant obou matic.

10. Najděte ortogonální bázi P=\{u_1,u_2,u_3\} prostoru V'=L(v_1,v_2,v_4) a určete matici přechodu od P k \{ v_2,v_4,v_1 \} a naopak. Spočítejte determinant obou matic.

11. Najděte ortogonální bázi P=\{u_1,u_2\} prostoru V'=L(v_1,v_3) a jeho ortogonálního doplňku. Zobrazte oba prostory pomocí zobrazení f:V \mapsto V, kde f(v_1)=(0,1,1,0), f(v_2)=(2,0,1,x), f(v_3)=(x,0,0,1), f(v_4)=(0,0,1,1) a určete dimenzi jejich obrazů, jejich spojení a jejich průniku v závislosti na x \in R

12. Najděte ortogonální bázi P=\{u_1,u_2\} prostoru V'=L(v_2,v_4) a jeho ortogonálního doplňku. Zobrazte oba prostory pomocí zobrazení f:V \mapsto V, kde f(v_1)=(0,1,1,x), f(v_2)=(2,0,1,0), f(v_3)=(x,0,0,1), f(v_4)=(1,0,1,1) a určete dimenzi jejich obrazů, jejich spojení a jejich průniku v závislosti na x \in R

13. Určete matici ortogonální projekce na ortogonální doplněk obrazu zobrazení definovaného f((a,b,c)):=(a,c+a,b,b+a).

14. Najděte všechna x, pro která

15. Najděte všechna x, pro která

16. Najděte všechna x, pro která

17. Najděte druhý řádek inverzní matice k matici

18. Numerické přiblížení n-té derivace: pro každé n \in N a každou volbu vesměs různých reálných čísel \alpha_0, \alpha_1, \ldots, \alpha_n najděte reálné koeficienty q_0, q_1, \ldots, q_n, aby

Pomocí L'Hospitalova pravidla převeďte tuto podmínku na soustavu n+1 lineárních rovnic a tu pak řešte Cramerovým pravidlem.

19. Dokažte, že množina všech unitárních matic s determinantem 1 tvoří grupu.

20. Nechť Ax=b je soustava lineárních rovnic, mající alespoň jedno řešení. Určete nutnou a postačující podmínku, aby proměnná x_k měla hodnotu nula v každém řešení této soustavy a dokažte.

21. Nechť Ax=b je soustava lineárních rovnic, mající alespoň jedno řešení. Určete nutnou a postačující podmínku, aby proměnná x_k měla stejnou hodnotu v každém řešení této soustavy a dokažte.

22. Dokažte, že každou matici lze rozložit na součin LU, kde L je dolní trojúhelníková a U je horní trojúhelníková matice.

23. Dokažte, že každou reálnou čtvercovou matici lze rozložit na součet symetrické a antisymetrické matice a že tento rozklad je jednoznačný. Určete dimenzi prostoru všech symetrických matic řádu n a všech antisymetrických matic řádu n a ukažte, že prostor všech čtvercových matic řádu n je jejich direktním součtem.

24. Dokažte, že každou komplexní čtvercovou matici lze rozložit na součet hermitovské a antihermitovské matice a že tento rozklad je jednoznačný. Zjistěte, zda jsou množiny hermitovských a antihermitovských matic daného řádu vektorovými podprostory množiny všech komplexních čtvercových matic, a sice podprostory nad tělesem reálných, resp. komplexních čísel. V závislosti na tom určete dimenzi prostoru všech hermitovských matic řádu n a všech antihermitovských matic řádu n.

Přidělení úkolů je uvedeno dole v tabulce. Kdokoli, kdo má momentálně alespoň 4 body, může místo libovolného přiděleného příkladu spočítat libovolný z rozmezí od 18. do 24. příkladu. Ostatní mohou příklady číslované 18 až 24 spočítat navíc k těm, které mají přiděleny. Pokud objevíte nesrovnalost v zadání, napište mi mail.

4.12. Úkoly:

Vaňkát, Šmilauerová: Permutaci

rozložte na nezávislé cykly, určete \pi^{2006} a nejmenší k>1000 takové, že \pi^k=\pi^{-1}.

Přibyl, Štefániková: Vyčíslete reálný determinant

Šrámek, Gregorová: Převodem na trojúhelníkový tvar spočtěte determinant

Šiffel, Dufek: Řešte Cramerovým pravidlem soustavu rovnic

Slovák, Pour: Vypočtěte determinant

Červenkov, Daněk: Jak se změní determinant matice, jestliže ji převrátíme podle středu? Odůvodněte.

Příbramský, Pagáčová: Jak se změní determinant matice, jestliže ji převrátíme podle vedlejší diagonály? Odůvodněte.

Pavelka, Dinnbier: Jak se změní determinant matice, jestliže ji pootočíme o devadesát stupňů? Odůvodněte.

Hoza, Berta: Určete součet determinantů všech čtvercových matic řádu n, které obsahují právě n jedniček a zbylé elementy jsou nula.

Javůrek, Bilka: Dokažte, že pokud pro libovolné indexy i_1, \ldots , i_k; j_1, \ldots, j_l platí a_{i_a j_b}=0 a k+l>n, pak je determinant matice a_{ij} roven nule.

Kubelka, Einšpigel: Jak se změní determinant, pokud do druhého řádku přičteme minus první řádek, do třetího minus druhý, atd., a do prvního řádku přičteme minus poslední? Celou úpravu provádíme naráz. Zdůvodněte.

Klíma, Pokorný: Jak se změní determinant matice, pokud její (i,j)-tý element vynásobíme c^{i-j}, c \in R? Zdůvodněte.

Brožek, Jirka: Dokažte, že determinant antisymetrické matice lichého řádu je nula.

Touška, Pácalt: Spočtěte determinant

Motloch, Šimsa: Spočtěte determinant

Vávra, Tintěra: Spočtěte determinant

29.11. Tak tady opravuju vaše domácí úlohy a místy to není pěkný pohled. Abychom mohli občas dělat na cvičení něco zajímavějšího (a taky abyste pak udělali zkoušku), musíte sami zvládnout základní definice a algoritmy: Hledání ortogonálního doplňku, GS - ortogonalizace, určení matice zobrazení, matice přechodu a změny matice zobrazení při přechodu do jiných souřadnic, hodnost matice a hodnost zobrazenírozhodnutí o lineární závislosti, řešení soustav lineárních rovnic. Ještě přibude pár dalších.

Úkoly nad rámec již zadaných:

Pavelka, Bilka: Vyjádřete souřadnice vektoru vůči ortonormální bázi pomocí skalárního součinu.

Červenkov, Šimsa: Dokažte, že zobrazení projekce na vektorový prostor \langle v_1,v_2 \rangle je rovno součtu zobrazení projekce na podprostory \langle v_1 \rangle a \langle v_2 \rangle právě když v_1 \perp v_2 .

Pácalt, Přibyl: Nechť v \in R^3 je pevný vektor. Najděte matici zobrazení f: R \to R, f(x)=v \times x , kde \times značí vektorový součin, vzhledem k bázi M= \{ (1,1,0), (1,-1,0), (0,0,1) \} . Najděte jádro a obraz tohoto zobrazení.

Jirka, Tintěra: Určete znaménko permutace na n prvcích, která i-tému prvku přiřazuje (n-i)-tý prvek.

Pokorný, Einšpigel: Rozložte permutaci na nezávislé cykly a na transpozice a určete její znaménko oběma metodami:

Další zase příště.

21.11. Předání minulých domácích úkolů a písemek přesuneme na pondělí. Do té doby prosím vypracujte tyto domácí úlohy:

Dřínek, Klíma: Najděte ortogonální doplněk prostoru \langle(1,2,3,0)\rangle.

Pour, Slovák: Najděte matici ortogonální projekce na podprostor z předchozí úlohy a na jeho ortogonální doplněk.

Einšpigel, Kubelka: Najděte ortogonální doplněk prostoru \langle(1,0,1,0),(0,1,0,1)\rangle

Daněk, Hoza: Najděte matici ortogonální projekce na podprostor z předchozí úlohy.

Štefániková, Šiffel: Najděte bázi \langle(1, - 2,2,0),(1, - 2,2,3),( - 1,1,0,0)\rangle obsahující kladný násobek vektoru (1, - 2,2,0)

Přibyl, Pácalt: Najděte ortogonální bázi \langle(1,2,3,4)\rangle a jeho ortogonálního doplňku.

Gregorová, Šrámek: Buď (R^3,g) prostor se skalárním součinem g a buď |u|_g^2 = x_1^2 + x_2^2 + 2 x_3^2 + 2 x_2 x_3 kvadrát normy vytvořené tímto skalárním součinem. Najděte ortonormální bázi podprostoru \langle (1,1,0),(1,2,1)\rangle vůči tomuto skalárnímu součinu a rozšiřte ji na ortonormální bázi prostoru R^3.

Dufek, Příbramský: Najděte ortogonální bázi prostoru polynomů stupně nejvýše čtyři se skalárním součinem (p,q)=\int_{-1}^1 p(x) q(x) dx .

Pokud není uvedeno jinak, myslí se vektorový prostor R^k s kanonickým skalárním součinem a kanonické báze.

13.11. Konzultace bude ve středu 14.11. od 17:30 v místnosti T4.

7.11. Úkoly, tentokrát přidělené:

Globální označení: V= prostor všech polynomů stupně nejvýše 2 nad Z_5. V \supset M=\{x^2+3x+1,2x^2+x+1,x^2+2\} ,V \supset N=\{2x^2+x+1,x^2+4x+4,x^2+3x\} V \supset K=\{1,x,x^2\}

Pro Radima Slováka a Petra Poura: Ověřte, že M je báze a najděte matici přechodu od M ke K a od K k M.

Pro Milana Vaňkáta a Davida Einšpigela: Ověřte, že M a N jsou báze a najděte matici přechodu od M k N.

Pro Milana Šrámka a Martinu Pagáčovou: Najděte matici zobrazení G z V do V, které polynomu p(x) přiřazuje polynom 3p'(x)+p(x), kde p'(x) značí derivaci, vzhledem k bázím M a N.

Pro Erika Šiffela a Vratislava Dřínka: Zjistěte, zda existuje inverzní lineární zobrazení k zobrazení G definovanému v předchozí úloze. Pokud ano, určete jeho matici vzhledem k bázím N a K. Pokud ne, určete jeho jádro a obraz.

Pro Petra Hozu a Martina Pokorného: Najděte matici zobrazení F z V do V, které polynomu p(x) přiřazuje polynom p'(x)+2p(x), kde p'(x) značí derivaci, vzhledem k bázím K a M.

Pro Daniela Klímu a Esteru Štefánikovou: Zjistěte, zda existuje inverzní lineární zobrazení k zobrazení F definovanému v předchozí úloze. Pokud ano, určete jeho matici vzhledem k bázím M a N. Pokud ne, určete jeho jádro a obraz.

Pro Daniela Červenkova a Josefa Pácalta: Dokažte, že pro libovolné lineární zobrazení vektorových prostorů konečné dimenze je hodnost jeho matice vůči libovolným bázím P a Q stejná jako hodnost vůči libovolným dvěma jiným bázím R a S.

29.10. Úkoly slíbené dnes:

Pro Tomáše Javůrka a Petera Bertu - Nechť V je vektorový prostor nad T, \{u_j \in V, 1 \leq j \leq k\} je lineárně nezávislá množina vektorů a s_{ij} \in T, 1 \leq j \leq k, 1 \leq i \leq n jsou skaláry. Označme M = \{v_i \in V, 1 \leq i \leq n\} , kde v_i = \sum_{j=1}^k s_{ij} u_j a N= \{r_i \in T^k, 1 \leq i \leq n\} , kde r_i = (s_{i1},s_{i2},\ldots,s_{ik}) . Dokažte, že množina M je lineárně nezávislá, právě když je lineárně nezávislá množina N.

Pro Pavla Motlocha a Daniela Šimsu - Dokažte, že pro libovolné dvě matice, pro něž je definován součin, platí h(AB) \leq \min(h(A),h(B)) .

Pro Šárku Gregorovou a Kryštofa Toušku - Najděte všechna řešení soustavy rovnic nad tělesem Z_5 :

Pro Josefa Pácalta a Michala Pavelku - Určete vektor (a,b,c) \in C^3 tak, aby byl násobkem řešení (x,y,z) soustavy

2.10. Slíbil jsem dva domácí úkoly navíc:

Pro Kryštofa Toušku: Najděte polynom třetího stupně, jehož graf obsahuje body (0,1); (1,-1); (2,5) a (3,37).

Pro Michala Pavelku: Najděte všechna řešení soustavy rovnic v modulární aritmetice Z_7:

Skupina od 12:20

Skupina od 14:00

Legenda: + znamená bod získaný na daném cvičení (za domácí úkol nebo počítání u tabule), ? znamená přidělený domácí úkol k odevzdání na daném cvičení