• View
• Edit
• History
• Print

Prace

Bakalářské a diplomové práce

Toto je aktuální seznam témat prací, která nabízím. Je možné se domluvit i individuálně, případně přizpůsobit zde uvedené téma pro jiný obor nebo typ práce.

Vícerozměrné Möbiovy transformace a fraktály

Bakalářská práce, obecná matematika

Kniha Indra's Pearls je na matematické poměry dost neobvyklá. Už při prvním otevření čtenáře zaujmou nádherná barevná vyobrazení fraktálních množin a dokonce krátké komiksy, na nichž "doktor Stickler" lepí plochy s různou zajímavou topologií. Obojí souvisí s takzvanými Kleinovskými grupami, což jsou podgrupy grupy Möbiových transformací roviny (translace, rotace, kruhová inverze) generované dvěma elementy. Tyto grupy transformují body roviny tak, že limitní body této transformace vytvářejí krásné fraktální struktury. V knížce je podán nejen teoretický základ a obrázky výsledků, ale také návod, jak tyto fraktály pomocí celkem libovolného softwaru sám vykreslit. Moebiova grupa se dá zobecnit do vyšších dimenzí, cílem práce by tedy bylo zkusit zobecnit i vlastnosti Kleinovských grup a zkusit vykreslit nějaké jejich limitní množiny ve 3D, tedy vlastně třírozměrné fraktály.

Littelmannovy cestičky

Bakalářská práce, obecná matematika

V teorii reprezentací Lieových grup se používají různé algoritmy pro nalezení vah reprezentací, rozklad tenzorových součinů, rozklad reprezentace vůči podgrupě. Littelmannovy cestičky jsou nejnovějším a zatím nejelegantnějším kombinatorickým modelem pro formulaci těchto algoritmů. Cílem práce by bylo vytvořit "manuál" umožňující tento model používat v případě (některých) klasických Lieových grup a podle zájmu a dovedností dokazovat různá exaktní tvrzení pro význačné reprezentace.

Anihilační a kreační operátory v teorii Lieových algeber a ve fyzice

Bakalářská práce, obecná fyzika

Teorie reprezentací Lieových grup a algeber má široké uplatnění v teoretické fyzice. Skoro vždy se při tom používají kreační a anihilační operátory bosonového nebo fermionového typu. Samotné Lieovy algebry lze pomocí těchto operátorů zkonstruovat - mluvíme o jejich oscilátorové realizaci. Cílem práce by bylo pro vhodnou třídu těchto algeber studovat, jaké oscilátorové realizace jsou možné, a sepsat několik zajímavých příkladů aplikace anihilačních a kreačních operátorů ve fyzice (SO(4) a SO(4,2) symetrie atomu vodíku apod.).

Rozklady tenzorových součinů reprezentací Lieových algeber

Diplomová práce, matematické struktury

Rozklad tenzorového součinu dvou ireducibilních reprezentací komplexní polojednoduché Lieovy algebry na ireducibilní komponenty patří mezi nejdůležitější úlohy teorie reprezentací. Existují různé formule, modely a algoritmy, jak tuto úlohu řešit, například Freudenthalova a Brauerova-Klimykova formule, Littelmannovy cestičky, Kashiwarovy krystalové báze apod. Přesných výsledků nealgoritmické povahy je ale málo a mají často zásadní význam, namátkou jmenujme klasifikaci tzv. Steinových-Weissových gradientů, hledání invariantních endomorfizmů nebo polynomů s hodnotami v reprezentaci nebo Parthasarathy-Ranga Rao-Varadarajanovu větu. Student by se měl s touto problematikou seznámit a pokusit se formulovat a dokázat nějaké přesné výsledky pro tenzorové součiny význačných reprezentací.