• View
• Edit
• History
• Print

VarInvLS1213

Variace na invarianci, LS 12/13

Seminární místnost MÚUK, 3.patro, Karlín, každý pátek 14:00 - 15:40, začátek 1. března.

Pojem invariance, tedy hledání vlastností, které se zachovávají při určitých transformacích daného matematického objektu, je v matematice všudypřítomný. Rádi bychom na tomto semináři, určeném především studentům prvního a druhého ročníku, nabídli pohled na matematiku právě z tohoto úhlu. Seminář bude sestávat z několika minisérií, jejichž témata doplňují a rozšiřují látku základních přednášek. Vítáni jsou všichni zájemci o moderní geometrii a algebru.

Vladimír Souček, Dalibor Šmíd a Lukáš Krump, garanti semináře

Program v LS 2012/13

1.,8. a 15. března: Eva Černohorská: Kvaterniony a počítačová grafika

Kvaterniony jsou zobecněním komplexních čísel spočívající v tom, že mají 3 komplexní jednotky namísto jedné. Podobně jako jednotková komplexní čísla reprezentují otočení v rovině, kvaterniony reprezentují rotace v prostoru. Pokud budeme nároční a budeme chtít jedním “číslem” reprezentovat všechny přímé shodnosti v prostoru, budeme muset jít ještě dál a zavést duální kvaterniony. (Duální) kvaterniony jsou numericky daleko stabilnější než matice a proto si našly své aplikace téměř všude - počínaje GPS modely, přes animace a letové simulace až po lékařství.

Domácí úkoly

22. a 29. března a 5. dubna: Dalibor Šmíd: Limitní množiny Kleinovských grup

Kleinovské grupy jsou konečně generované podgrupy v grupě všech lineárně lomených zobrazení rozšířené komplexní roviny. Jejich limitní množiny tvoří pestré ZOO, mezi jehož obyvateli najdeme některé z nejpodivuhodnějších fraktálních křivek v rovině. Zmíníme se i o souvislostech s topologií a teorií čísel.

Interaktivní obrázky Moebiovských transformací, limitních množin atd.: http://www-m10.ma.tum.de/bin/view/MatheVital/IndrasPearls/WebHome

Domácí úkoly

12., 19. a 26. dubna: Vladimír Souček: Harmonická analýza na konečných grupách

Harmonická analýza na komutativních grupách je typickým příkladem klíčové role, kterou hrají symetrie a jejich aplikace v klasické analýze. Všechny základní vlastnosti jsou dobře vidět už na konečných komutativních grupách. Během seminářů se seznámíme s vlastnostmi diskrétní Fourierovy transformace a jejími aplikacemi.

3., 10. a 17. května: Martin Doubek: Vektorová pole na sférách

Klasickou geometrickou úlohou je najít na sféře S^n dimenze n co největší počet P(n) tečných vektorových polí, která jsou v každém bodě lineárně nezávislá. P(n) tvoří na první pohled záhadnou posloupnost 1,0,3,0,1,0,7,0,1,0,3... Konstrukci takových polí lze provést pomocí tzv. Cliffordových algeber, jejichž speciálními případy jsou reálná čísla R, komplexní čísla C a kvaterniony H. Obvzláště zajímavá je sféra S^7, kde lze pole zkonstruovat i pomocí oktonionů, jisté neasociativní algebry navazující na posloupnost R,C,H. Dokázat, že námi nalezený počet polí je maximální je podstatně obtížnější. Jeho řešení z 60. let 20. století bylo velkým úspěchem algebraické topologie a zůstane mimo naše technické možnosti. Ale dokážeme si alespoň větu o česání ježka, která říká, že každé spojité tečné pole na sféře sudé dimenze 2n má nulový bod, tzn. P(2n)=0.

Domácí úkoly

Podmínky zápočtu

Můžete si vybrat mezi dvěma variantami podmínek získání zápočtu:

• Domácí úkoly: Každý přednášející bude během přednášek vyhlašovat domácí úkoly různé obtížnosti, za 1, 2 nebo 3 body. K zápočtu je třeba odevzdat úkoly alespoň za 8 bodů od alespoň tří přednášejících. Domácí úkoly odevzdávejte kterémukoli z přednášejících a do jejich záhlaví uveďte (kromě svého jména), kterému přednášejícímu resp. ke kterému tématu patří.
• Projekt: Pokud vás jedno z témat zaujme více než ostatní, můžete se s přednášejícím dohodnout na rozsáhlejším domácím úkolu/projektu, který na téma bude navazovat. Výstupem bude krátká práce sepsaná v TeXu v rozsahu 5-10 stran a její prezentace v průběhu června.

Tabulka bodů