• View
• Edit
• History
• Print

VarInvLS1314

Variace na invarianci, LS 13/14

Každou středu od 10:40 v K5, poslední série bude možná přesunuta na čtvrtek.

Tabulka domácích úkolů

Pojem invariance, tedy hledání vlastností, které se zachovávají při určitých transformacích daného matematického objektu, je v matematice všudypřítomný. Rádi bychom na tomto semináři, určeném především studentům prvního a druhého ročníku, nabídli pohled na matematiku právě z tohoto úhlu. Seminář bude sestávat z několika minisérií, jejichž témata doplňují a rozšiřují látku základních přednášek. Vítáni jsou všichni zájemci o moderní geometrii a algebru.

Tomáš Salač, Dalibor Šmíd a Lukáš Krump, garanti semináře

Program v LS 2013/14

26.2., 5.3., 12.3.: Dalibor Šmíd: Moebiova grupa

Moebiova grupa je tvořena všemi lineárně lomenými zobrazeními rozšířené komplexní roviny. Odvodíme základní algebraické a geometrické vlastnosti Moebiovských transformací a ukážeme si, jak tyto transformace souvisí s hyperbolickou geometrií a speciální teorií relativity, a jak je pomocí nich možné generovat pěkné fraktály.

Přehled přednášky a domácí úkoly

19.3., 26.3., 2.4.: Tomáš Salač: Symetrie a zákony zachování

Ukážeme si, že zákony zachování z klasické mechaniky jsou důsledkem jednotného principu, který se nazývá zákon Noetherové. Tento princip říká, že existence k lineárně nezávislých spojitých symetrií systému zadává k zachovávajících se veličin. K formulaci zákonu Noetherové zavedeme základní abstraktní objekty používané v diferenciální geometrii Při aplikaci zákonů Noetherové je pak nutné interpretovat abstraktní objekty jako veličiny známé ze středoškolské fyziky (např. hybnost nebo moment hybnosti). Celou teorii si ilustrujeme na několika příkladech, například na Keplerové úloze.

Zápisky k přednášce

9.4., 16.4., 23.4.: Roman Lávička: Kvaterniony

V 1. přednášce připomeneme, jak vlastně R. Hamilton kvaterniony objevil. Budeme se totiž zabývat otázkou, zda se dají násobit vektory v Eukleidovském prostoru libovolné dimenze. Jak jistě dobře víte, v rovině násobení vektorů vede ke komplexním číslům. Ukážeme si, že v prostoru se žádné rozumné násobení zavést nedá. V dimenzi 4 lze naproti tomu zavést aspoň nekomutativní násobení, které vede ke kvaternionům.

Ve 2. přednášce si vysvětlíme, jak hluboký vztah mají kvaterniony ke geometrii 3-rozměrného a 4-rozměrného prostoru. V těchto dimenzích popíšeme rotace a možná i Moebiovy transformace pomocí kvaternionů.

V poslední přednášce nás budou zajímat různá zobecnění celých čísel v komplexním oboru a kvaternionech, např. Gaussova a Hurwitzova čísla. Zvláště budeme studovat jejich prvočíselné rozklady.

předběžně 30.4., 7.5., 21.5.: Martin Doubek: Vektorová pole na sférách

Klasickou geometrickou úlohou je najít na sféře S^n dimenze n co největší počet P(n) tečných vektorových polí, která jsou v každém bodě lineárně nezávislá. P(n) tvoří na první pohled záhadnou posloupnost 1,0,3,0,1,0,7,0,1,0,3... Konstrukci takových polí lze provést v dimenzích 1, 3 a 7 pomocí komplexních čísel C, kvaternionů H a oktonionů O. V ostatních dimenzích se konstrukce provádí pomocí tzv. Cliffordových algeber, které zobecňují C a H, ale už ne O. Dokázat, že námi nalezený počet polí je maximální, je podstatně obtížnější problém. Jeho řešení z 60. let 20. století bylo velkým úspěchem algebraické topologie a zůstane mimo naše technické možnosti. V minulém roce jsme dokázali alespoň větu o česání ježka, která tvrdí P(2n)=0. V tomto roce se zaměříme na konstrukce v lichých dimenzích, neboli dokážeme dolní odhady pro P(2n+1). Vhodné jak pro nováčky, tak pro studenty, kteří sérii absolvovali loni.

Domácí úkoly

Podmínky zápočtu

Každý přednášející bude během přednášek vyhlašovat domácí úkoly různé obtížnosti, za 1, 2 nebo 3 body. K zápočtu je třeba odevzdat úkoly celkem alespoň za 8 bodů od alespoň tří přednášejících. Domácí úkoly odevzdávejte kterémukoli z přednášejících a do jejich záhlaví uveďte (kromě svého jména), kterému přednášejícímu resp. ke kterému tématu patří. Úkoly odevzdávejte do 14 dnů od ukončení příslušné série.