Recent Changes - Search:

Výuka

LA pro fyziky

Matematika pro F II

Variace na invarianci

Starší výuka

Rozvrh


Fakulta

Tajemník MÚUK


VarInvLS1516

Variace na invarianci, LS 15/16

K12, 3.patro, Karlín, každý pátek 12:20 - 13:50

Pojem invariance, tedy hledání vlastností, které se zachovávají při určitých transformacích daného matematického objektu, je v matematice všudypřítomný. Rádi bychom na tomto semináři, určeném především studentům prvního a druhého ročníku všech oborů, nabídli pohled na matematiku právě z tohoto úhlu. Seminář bude sestávat z několika minisérií, jejichž témata doplňují a rozšiřují látku základních přednášek. Vítáni jsou všichni zájemci o moderní geometrii a algebru.

Tomáš Salač, Dalibor Šmíd a Lukáš Krump, garanti semináře

Program

26.2.,4.3. a 11.3.: Lukáš Krump: Kleinův Erlangenský program

Nejprve si prozradíme, že euklidovská geometrie (v rovině) není jediná možná geometrie - odebereme-li z ní některé pojmy a požadavky, dostaneme afinní geometrii a dalším odebráním projektivní geometrii. Seznámíme se s myšlenkou, kterou formuloval v roce 1872 Felix Klein, a sice že každá taková geometrie je plně charakterizována grupou svých symetrií, a tedy i pomocí invariantů této grupy. A z projektivní geometrie si volbou jiných grup odvodíme některé typy neeuklidovských geometrií: eliptickou čili sférickou a hyperbolickou čili Lobačevského.

Přehled přednášky a úkoly

18.3. a 1.4.: Eva Blažková: Kvaterniony a počítačová grafika

Kvaterniony jsou zobecněním komplexních čísel spočívající v tom, že mají 3 komplexní jednotky namísto jedné. Podobně jako jednotková komplexní čísla reprezentují otočení v rovině, kvaterniony reprezentují rotace v prostoru. Pokud budeme nároční a budeme chtít jedním “číslem” reprezentovat všechny přímé shodnosti v prostoru, budeme muset jít ještě dál a zavést duální kvaterniony. (Duální) kvaterniony jsou numericky daleko stabilnější než matice a proto si našly své aplikace téměř všude - počínaje GPS modely, přes animace a letové simulace až po lékařství.

Slajdy a úkoly k přednášce

8.4., 15.4. a 22.4.: Tomáš Salač: Krystalografické grupy

Symetrie těles jako jsou třeba krychle nebo čtyřstěn jsou popsány konečnými podgrupami grupy rotací v třírozměrném prostoru. Vybudujeme nezbytný základ teorie reprezentací konečných grup a ukážeme, jak se pomocí něj dají popsat vlastní kmity molekul a krystalových mříží. Uvidíme, že řadu podstatných informací o fyzikálním systému lze získat i bez toho, abychom vůbec sestavili, natož vyřešili příslušné fyzikální rovnice, pouze z matematického popisu symetrií tohoto systému.

Domácí úkoly

29.4. a 6.5.: Dalibor Šmíd: Eliptické integrály, funkce a křivky

Eliptické integrály byly v historii matematiky prvními integrály, které není možné vyjádřit pomocí elementárních funkcí: algebraických, goniometrických a exponenciálních včetně jejich inverzí. Jejich studium ale vedlo k nalezení fascinujících spojitostí mezi analýzou, algebrou, teorií čísel a geometrií.

Přehled přednášky a domácí úkoly

13.5., 20.5. a 27.5.: Martin Doubek: Invarianty uzlů

Jak zjistit, jestli lze zadanou zauzlovanou smyčku rozuzlovat? Odpověď hledá odvětví topologie zvané teorie uzlů. Ukážeme si konstrukci několika tzv. invariantů uzlů, které dávají částečné řešení tohoto problému a zavedou nás do rozličných končin matematiky. Bude: Jonesův polynom, uzlová grupa, quandly, obarvování a možná i Khovanovova homologie a topologické teorie pole!

Domácí úkoly

Zápočet

Odevzdejte vyřešené domácí úlohy za alespoň 5 bodů celkem od každého z alespoň 3 různých přednášejících. Můžete je poslat mailem nebo předat některému přednášejícímu. Úlohy se odevzdávají vždy na následující přednášce, pro úkoly z poslední přednášky dané série to znamená, že je dáte následujícímu přednášejícímu na jeho první přednášce.

Tabulka bodů

Edit - History - Print - Recent Changes - Search
Page last modified on May 22, 2016, at 02:39 PM
@]