Přednáška přináší tři aplikace Bézoutovy věty.

Nejprve si sami rozmyslete, proč pět bodů v obecné poloze (tj. žádné tři netvoří přímku) jednoznačně určují kvadratickou křivku. Video vám to kdyžtak vysvětlí. (Akorát tam nesmyslně říkám 
"po dvou nekolineárních", má být samozřejmě "po třech nekolineárních".)

Jako ukázka důkazové techniky dobře poslouží Pascalova věta o magickém šestiúhelníku. Samo tvrzení je hříčka, ale určitě pochopte ten důkaz!

V podobném stylu se dá dokázat Cayley-Bacharachova věta. Důkaz jsem chtěl zpracovat podle Terrence Tao (https://terrytao.wordpress.com/2011/07/15/pappuss-theorem-and-elliptic-curves/), ale 
mám tam hrubou nejasnost v jednom kroku, tak jsem to z časových důvodů vzdal. Místo ní tam máte důkaz Lemmatu o devíti bodech, což je speciální případ, který se dá dokázat i bez Bézoutovy věty. 
Toto lemma se použije k důkazu asociativity grupové operace na eliptické křivce, tak ať máte ten důkaz kompletní. 

Poslední a nejdůležitější aplikací je grupová operace na eliptické křivce. Bézoutovu větu potřebujete k definici té operace, to lemma k důkazu, že to je opravdu grupa. A to je vrchol celého kurzu: 
eliptické křivky se dají zkoumat metodami teorie abelovských grup! K čemu je to dobré a jaké zajímavé otázky tím vznikají si poslechněte tady: https://www.youtube.com/watch?v=jqjBiNjsP0Q

Pokud jste nikdy neslyšeli, jak se aplikuje diskrétní logaritmus v kryptografii, koukněte sem: https://www.youtube.com/watch?v=AJw-w04xQmk
Pokud vás zajímá souvislost eliptických křivek s Velkou Fermatovou větou (měla by!), koukněte sem: https://www.youtube.com/watch?v=mq9BS6S2E2k a předem si k tomu přečtěte můj komentář http://www.karlin.mff.cuni.cz/~stanovsk/vyuka/proseminar_ribet.pdf