Virus se šíří s okamžitou rychlostí přímo úměrnou počtu nakažených, s koeficientem k>0. Je možné, aby počet nakažených rostl pouze lineárně? Ne. Řešení: Podle Tvrzení 9.7 je možným řešením diferenciální rovnice f'(x) = k f(x) pouze exponenciální funkce. Pořádně si promyslete obrázek v příkladu 9.12. Uvažujte vektor v=(1,0)^T. Jakou směrnici má asymptota posloupnosti f^k(v), k=1,2,3,... ? Neformálně, kterým směrem tato posloupnost ubíhá? (Vektory zde ztotožňuji s jejich koncovými body.) (1,1) Řešení: sledujte šipky, ubíháme doprava nahoru. Šipky vás posouvají z f^k(v) do f^{k+1}(v). Na základě příkladů 9.18-9.21 by vám mělo být jasné, že rotace v R^3 podle osy dané jistou přímkou má jedno vlastní číslo Řešení: je to 1, vlastní vektor ve směru osy - osa je jediný směr, který se při rotaci nemění Přečtěte si Příklad 9.29. Je možné, aby nějaký počáteční stav různý od (0,0)^T konvergoval k vektoru (0,0)^T ? Ne, protože jsou obě vlastní čísla větší než 1. Řešení: Intuice velí, že ve obou zachovávaných směrech zobrazení prodlužuje, takže by díky linearitě nemělo nikde zkracovat. Což je nutné pro konvergenci k nule. Každá reálná matice 5x5 má aspoň jedno reálné vlastní číslo Řešení: komplexních je pět jen tehdy, když je počítám včetně násobnosti. Uvažujte vektorový prostor reálných polynomů stupně nejvýše 2 a lineární zobrazení D(f)=f'. Charakteristický polynom tohoto zobrazení je -lambda^3 Řešení: Matice toho zobrazení vzhledem k bázi (1,x,x^2) je po sloupcích ( 0 2 0 | 0 0 1 | 0 0 0 ). Přidejte na diagonálu -lambda a spočtěte determinant. Q: Je nějaký důvod proč se označuje diagonální matice diag? A: v každém textu se to označuje jinak, není ustálené značení Q: Otázku kvízu s vekt. prostorem reál.poly stupně nejvýše 2 jsem si převedl na problém f: R^3 ->R^3. Je toto obecně správný postup? A: Ano. Cokoliv se týká lineárních zobrazení na prostorech konečné dimenze lze převést na problém o matici tohoto zobrazení vzhledem k vhodně zvolené bází. Q: Ak by nastala situacia, ze do skol sa vratime az v maji, tak obsah MIDTERMU bude stale 8 a 9 kapitola? Je to fixne alebo postupom casu sa bude obsah MIDTERMU zvacsovat? A: Dam vcas vedet, ono to nebude ze dne na den. Pocitejte s tim, ze tam bude vse, co si do te doby nastudujete. Q: Budou nějaké pevné termíny pro přidané kvízy, jako tomu bylo u dosavadních pondělních, a příadně jak dlouho budou otevřeny? A: Ano, až se život za podmínek morové rány stabilizuje (zatím moc nestíhám). Vždy na to budou aspoň dva dny. Dám vědět.