Které z následujících faktorokruhů jsou tělesa?	
Q[?]/(?^3+?+1), Z5[?]/(?^3+?+1)	
Jde o to, zda je ten polynom ireducibilní v příslušném T[?]. Pro polynomy stupně <=3 stačí ověřit, zda nemá kořen.


Uvažujte konstrukci faktorokuhu pro obor Z místo tělesa T a pro monický polynom m (aby byl podíl a zbytek celočíselný). Bude faktorkruh Z[?]/(?+1) tělesem či oborem integrity?	
není to těleso, je to obor integrity
Prvky jsou právě konstantní polynomy, jejich součin jsou zase konstantní polynomy, čili žádné modulo nehraje roli a jde de facto o obor Z. Což je obor integrity, ale ne těleso.


Uvažujte osmiprvkové těleso Z2[?]/(?^3+?^2+1). Spočtěte součin (?+1) krat (?^2+1) v tomto tělese. Výsledek tvaru u?^2+v?+w napište jako trojici "u,v,w" bez mezer.	
0,1,0


Uvažujte těleso Zp[?]/(m(?)). Dělejme postupně mocniny ?, ?^2, ?^3, ... Dostaneme tak všechny nenulové prvky tohoto tělesa? [Nejste-li jasnozřiví, udělejte si pár experimentů pro různá m(?).]	Zde máte prostor položit libovolnou otázku týkající se právě probírané látky. Odpovím osobně nebo okomentuji na přednášce.
někdy ano, někdy ne	
Ano například v tom faktorokruhu z předchozí úlohy. Ne například pro Z3[a]/(a^2+1), což je při správném pohledu vidět na první pohled - mocněním nedostanu polynomy s více členy.



*** Q&A ***

Q: Jak spolu souvisí pojmy ireducibilita a invertibilita? Proč prvek prvek ireducibilního rozkladu nemůže být invertibilní?
A: Invertibilita je vlastnost, že daný prvek lze přenásobit na jedničku (např. +-1 v Z). Ireducibilita je vlastnost, že daný prvek nemohu netriviálně rozložit na součin (např. +-prvočísla v Z). 
Netriviálně znamená, že aspoň jeden z činitelů není invertibilní - každý prvek mohu rozložit jako a=(-1)(-a), takže bez toho by ta vlastnost nedávala smysl. 
A ještě jedna věc: invertibilní prvky sice splňují výše uvedenou vlastnost, přesto je NENAZÝVÁME ireducibilní (tak praví definice) - stejně jako jedničku nenazýváme prvočíslem.
Co se zápisu rozkladu týče: můžeme psát buď a || p1^k1...pn^kn, nebo a = q p1^k1...pn^kn pro nějaký q invertibilní (to první je kratší, proto jsem to používal). V tomto smysl invertibilní prvek součástí rozkladu je, ale vlastnosti dělitelnosti na něm nezáleží. (Připomeňte si příklad s ireducibilním rozkladem čísla -4 v Z.)


Q: Chtěl bych se zeptat, jestli je rozdíl mezi zápisy Zp[a]/(m(a)) a Zp[a]/(m)? Chápe se v prvním případě hodnota polynomu m v a (pro konkretní a), nebo to jenom značí, že proměnná polynomu m je a?
A: Písmeno alfa (dál budu psát a) značí jméno nové proměnné, nikoliv konkrétní číslo.
Je-li m polynom ze Zp[a], pak jsou oba zápisy v principu totožné, ale raději bych používal Zp[a]/(m). 
Je-li m polynom ze Zp[x], pak to druhé nedává formálně smysl. Chci říct, že používám polynom m, ale jeho proměnnou x přejmenujeme na a. To lze zapsat m(a) a de facto to znamená, že jsem vzal hodnotu polynomu f v oboru Zp[a] po dosazení prvku a (tj. té nové proměnné) za x.


Q: U kterych oboru integrity se da mluvit o zbytku po deleni?
A: U eukleidovských oborů - zbytkem a po dělení b nazveme takové r, pro které existuje q tak, že a=bq+r a norma(r)<norma(b). Může ovšem být problematické mluvit o operaci mod a div, protože takových dvojic q,r může být víc (např. v oboru Z[i]).
Jediné běžně používané obory s jednoznačným mod,div jsou obory Z a T[x].