Pro která čísla a platí Q(a)=Q[a], kde Q je těleso racionálních čísel?	

a = sin(pi/4), a = sqrt(2) + sqrt(3), a = e^(2*pi*i/7)
Tato čísla jsou algebraická: to první je sqrt(2)/2, tedy kořen polynomu 2x^2-1, to druhé je kořen x^4-10x^2+1, to třetí je kořen x^7-1. 
Naopak e je transcendentní.
Říkal jsem, že rovnost Q(a)=Q[a] platí právě tehdy, když je a algebraické, i když jsem dokazoval jen jeden směr.

Největší trik je s číslem sqrt(2) + sqrt(3), jeho algebraičnosti určitě není vidět na první pohled, ale není těžké si tipnout, že bude potřeba polynom stupně 4 a jeho kořeny se
pak dají najít klidně brute force (nebo i chytřeji). Ke konci semestru budeme mít větu, že součet algebraických čísel je algebraický.

***

Které z následujících vlastností má prvek a = 2+sqrt(3) v oboru Z[sqrt(3)] ?	

a je invertibilní, prvky a, sqrt(3) jsou nesoudělné, a dělí sqrt(3)

Norma vyjde 1, takže je invertibilní. Z toho ihned plynou ostatní vlastnosti: invertibilní prvky nejsou ireducibilní, NSD(invertibilní prvek, cokoliv)=1, invertibilní prvek dělí cokoliv.

***

Které z následujících prvků jsou ireducibilní v oboru Z[sqrt(-2)] ?

ANO: 5 (protože má normu 25, ale neexistuje prvek normy 5), 1+3sqrt(-2) (protože má prvočíselnou normu 19)
NE: 2 || sqrt(-2)^2

***

Která z následujících tvrzení jsou pravdivá?

ANO:
NSD(x^2+1, x^2-1) = 666 v Q[x]

NE:
5x+10 = 5(x+2) je ireducibilní rozklad.
5x^2-5 || (x-1)(x+1) je ireducibilní rozklad.
NSD(6x^2 - 2, 6x^4 - 4) = 2x^2 - 2 v Z[x].