Podívejte se na důkaz Eisensteinova kritéria pro polynom f stupně 10, pro který uvažujeme hypotetický rozklad na součin polynomů stupně 3 a 7. Nejvýše kolikrát se použije předpoklad, že p je prvočinitel? (Napište pouze číslo, žádné vysvětlení.)	

8

Čtyřikrát nebo osmkrát, podle toho, který činitel bude ten vybraný (tedy nejvýše osmkrát). Na vybraný polynom se to použije tolikrát, kolik má koeficientů, což je stupeň plus jedna.


***

Napište c(f), kde f=4x^2y+6xy^2 jakožto prvek oboru (Z[y])[x].

2y


***

Platí čínská věta o zbytcích nad oborem Z[x] (tj. pro celočíselné polynomy, místo polynomů nad tělesem)?

ne, selže důkaz existence řešení

Jednoznačnost je v pořádku, tam stačí použít fakt, že Z[x] je gaussovský obor.
V existenci používám lineární algebru, a tu mohu dělat pouze nad tělesem. Úvahy o dimenzi, které děláme v lineární algebře, nad oborem Z často selžou. Více viz navazující kurz Úvod do teorie reprezentací.


***

Kolik řešení má diofantická rovnice x^2+1=y^5 ?

1

Rovnici lze vyřešit úplně stejně, jako tu s třetí mocninou na přednášce, ale je potřeba projít každý jednotlivý krok, jestli náhodou neselže. Pátá mocnina také zapříčiní to, že NSD není (1+i)^1, a závěr (řešení pro a,b) se musí kompletně přepočítat.