Grupa rotací pravidelného osmistěnu je izomorfní grupě
S4

Nejlépe je to vidět z toho, že osmistěn je duální těleso ke krychli, takže grupa rotací musí být stejná, jako pro krychli.
Duální znamená, že "zaměníte stěny za vrcholy" - například tak, že doprostřed každé stěny osmistěnu dáte vrchol, čímž dostanete krychli, a naopak.

***

Grupa automorfismů grafu ve tvaru prasátka (viz obrázek) je izomorfní grupě
Z2 x Z2

Můžu nezávisle prohazovat nožičky, ale zbytek grafu každý automorfismus fixuje, což je vidět například ze stupňů vrcholů (každý automorfismus zachovává stupně vrcholů).
Označíme-li nožičky postupně 1,2,3,4, dostaneme permutační grupu <(1,2), (3,4)>, která je izomorfní Z2 x Z2.

***

Uvažujte působení grupy GL_3(R) na prostor R^3 popsané na přednášce (R jsou reálná čísla). Kolik má toto působení orbit?
2

Jedna orbita je {(0,0)}, druhá orbita obsahuje všechno ostatní. 
Z lineární algebry víte, že každé lineární zobrazení fixuje nulu, ale pro každé dva nenulové vektory u,v existuje bijektivní lineární zobrazení takové, že u->v.

***

Uvažujte působení grupy reálných čísel na rovinu R^2 takové, že číslu u odpovídá rotace podle (0,0) o u stupňů.  Kolik má toto působení orbit? (Napište číslo nebo "nekonečno".)
nekonečno

Orbity jsou soustředné kružnice se středem v (0,0).

***

Které z následujících podgrup grupy D_12 jsou normální?	
podgrupa rotací, podgrupa generovaná středovou symetrií, podgrupa generovaná dvěma osovými symetriemi podle os svírajících úhel 30 stupňů

Dvě osové symetrie generují celou D_12, a ta je v D_12 normální. 
Zbytek se snadno rozhodne pomocí konjugace, která v dihedrálních grupách zachovává "typ" geometrického zobrazení, tj. konjugace rotace je rotace, konjugace středové symetrie je středová symetrie, apod.