Informace k přednášce Lineární algebra podruhé.
Povinně volitelná přednáška pro
studenty bakalářského studia programu Matematika
Přednášející
Jiří Tůma
Cvičení vede
Adolf Středa
Místo a čas
Přednáška posluchárna K4, budova Sokolovská 83, pondělí 10,40
Cvičení posluchárna K11, budova Sokolovská 83, pondělí 14,00
Konzultace
Lze domluvit osobně po přednášce nebo mailem na tuma (at) karlin.mff.cuni.cz, nebo telefonem 2 2191 3240
Zkouška
bude písemná a ústní
Zápočet
Bude za aktivní účast na cvičení a za domácí úkoly
Literatura
https://see.stanford.edu/Course/EE263
Stručný obsah přednášek
18.2.2019 Stručný
obsah kurzu, spojitý lineární dynamický
systém, stav, vstup, výstup, stavový prostor,
dynamická, vstupní a výstupní matice,
volné kmity na pružině jako lineární
dynamický systém
25.2.2019 Diskrétní
lineární dynamický systém, využití
lineárních dynamických systémů, co s
nelineárními dynamickými systémy,
příklad na analýzu signálu pomocí
vlasních čísel, příklad z teorie
řízení, konvoluce dvou funkcí, vysvětlení definice pomocí kmitů na pružitě, a
bodové vnější síly, "impulse response",
různé inteprtetace soustavy lineárních rovnic,
význam prvků matice, příklady vedoucí na soustavy
lineárních rovnic, linearizace, příklad
linearizace pro navigací v rovině
4.3.2019 Opakování
lineární algebry, matice invertovatelné zleva a
ekvivalentní podmínky, matice invertovatelné
zprava a ekvivalentní podmínky, ortogonální
doplňky k jádru a oboru hodnot matice, změna souřadnic,
skalární součin a euklidovská norma,
geometrický význam, vyjádření nadroviny a
poloprostoru pomocí skalárního součinu,
ortogonální a ortonormální posloupnosti
vektorů, matice s ortonormální posloupností
sloupcových vektorů, QR-rozklad, úplný QR-rozklad,
opakování metody nejmenších čtverců a
jejích algebraických vlastností
11.3.2019 Výpočet
aproximace řešení pomocí metody
nejmenších čtverců využívající
QR-rozkladu a úplného QR-rozkladu, použití metody
nejmenších čtverců v teorii odhadů, Frobeniova norma,
řešení soustavy lineárních rovnic s
nejmenší normou, "BLUE property", kovarianční
matice, metoda nejmenších čtverců s váhami, volba
váhové matice W. Mathematica notebook
pro metodu nejmenších čtverců s váhami (funguje
vždy při stisknutí tlačítka "Evaluate notebook")
18.3.2019
Odvození kovarianční matice pro chybu v
odhadu metodou nejmenších čtverců s váhami,
důkaz že je nejmenší v uspořádání
pozitivně semidefinitních matic přes všechny
možné levé inverzy matice A, příklad na navigaci, příklad na analogový-digitální filtr, Mathematica notebook pro analogový-digitální filtr
25.3.2019 Rekurzivni
metoda nejmenších čtverců, odvození
obecného vzorce pro odhad vektoru metodou
nejmenších čtverců s váhami na základě dvou
nezávsilých množin měření, Slidy
k rekurzivní metodě nejmenších čtverců.
Odvození vzorce pro rekurzivni odhad vektoru metodou nejmensich
ctvercu na zaklade posloupnosti nezávislých měření
s varinací 1, odovozebnní vzorce pro výpočet
inverzní matice k součtu invertovatelné matice s
maticí hodnoti 1. Interpolace a prokládání
funkcí metodou nejmenších čtverců, příklady na interpolaci a identifikaci systému (volba koeficientů v lineární kombinaci nějakých vektorů).
1.4.2019
Vícekriteriální metoda
nejmenších čtverců, množina možných hodnot pro
kritéria, obrázky
k tomu, Paretova optimální křivka, regularizace a
regularizační koeficient, regularizace pomocí metody
nejmenších čtverců, výpočet
řešení soustavy lineárních rovnic s
minimální normou pomocí QR-rozkladu,
autonomní lineární dynamické systémy
a jejich řešení v případě
diagonalizovatelné matice, exponenciela od
diagonální a od diagonalizovatelné matice,
její vyjádření pomocí mocninné řady.
8.4.2019 Odvození exponenciální
funkce pro Jordanovu buňku, její vyjádření
pomocí mocninné řady, řešení
obecných autonomních spojitých
lineárních dynamických systémů,
jejich stabilita, transfer function, vzorkování
(sampling) spojitého LDS, po částech konstantní
LDS, základní vlastnosti maticové exponenciely,
příklad na chemické reakce.
15.4.2019 stabilita
autunomních dynakockých systémů,
vzorkování spojitého dynamického
systému, základní vlastnosti exponenciely od
matic, obecné mechanické systémy, linearizace
kolem rovnovážného bodu, příklady na
fungující a nefungující linearizaci,
geometrický význam vlastních vektorů matice LDS,
invariantní podprostory, geometrický význam
levých vlastních vektorů matice LDS
22.4.2019 Velikonoční pondělí
29.4.2019 Opakování
reálných symetrických matic - reálná
vlastní čísla, existence ON báze složené z
vlastních vektorů, kvadratické formy, jejich
příklady, pozitivně definitní a pozitivně
semidefinitní matice, elipsoid definovaný
kvadratickou formou, délky poloos, spektrální
norma matice, vlastnosati psektrální normy
6.5.2019 Elipsoidy definované kvadratickou formou, obraz lineárním zobrazením určeným maticí A,
plný singulární rozklad-opakování,
podprostory určené maticí v úplném
singulárním rozkladu, redukovaný
singulární rozklad, obecná pseudoinverze,
speciální případy: matice pro výpočet
aproximace pomocí LSQ, matice pro výpočet
řešení s nejmenší normou,
geometrický význam obecné pseudoinverze,
pseudoinverze pomocí regularizace, elipsoid neurčitosti při
řešení soustavy lineárních rovnic s chybami
měření. Lineární dynamické soustavy s
žízením, dosažitelnost stavu v čase t,
13.5.2019
20.5.2019