Matematický proseminář
Matematický proseminář II, LS 2015/2016 - St 10:40, M3
Výberový seminár pre študentov 1. ročníka. Budeme sa venovať klasickým témam stredoškolskej matematiky s presahom na úvod do matematiky vysokoškolskej. Riešené budú zaujímavé a netradičné príklady.
Podmienky zápočtu: aspoň 8 (aktívnych) účastí
1 krát "+" za príklad na hodine alebo d.ú.
krátky referát na hodine (vstup do témy, zaujímavý poznatok..., bude vždy upresnené počas výuky)
Preberané témy:
Síla skalárního a vektorového součinu - vztahy mezi geometrickou a algebraickou definicí, obsah rovnoběžníku [ lit. všude spousta, třeba wikipedie cross a dot product]; incidenční vztahy v rovině [ lit. kniha Perspectives of Projective Geometry, pdf draft]
Síla vnějšího součinu - objem rovnoběžnostěnu, kolinearita bodů na přímce, determinant [ lit. stejně jako minule]
Pod kůží kuželoseček - vytvorení kuželosečky ze symetrické matice, regularita kuželosečky, klasifikace kuželoseček pomocí nevlastního bodu, polára a tečna, střed, (ne)derivace; důkaz Cramerova pravidla
Na čem Στοι náš svět (Axiomatika a vytváření vlastních geometrií) - Euklidove axiómy (Στοιχεια, pdf cz), Hilbertove axiómy (Grundlagen), Základní pojmy, relace, axiómy; Axiómy incidence, Fanova rovina, Fedorovova interpretace; Axiomatizace metra; Axiómy uspořádání, Paschov axióm; Archimedov axióm, axióm rovnoběžnosti. Legendre - Saccheriho věta o vnitřních úhlech trojúhelníku. [lit. Kutuzov: Lobačevského geometrie a elementy základů geometrie, knihovna UK]
Geometrické transformace - Shodnosti (klasifikace), posunutí a matice posunutí, odvození vztahu pro matice shodností a a jejich determinant, transformace kuželosečky v souřadné soustavě. Podobnosti, afinity, kolineace a příklady. Dvojpoměr jako invariant při kolineaci, Kruhová inverze a stereografická projekce, Menelaova a Cevova věta, Ptolemaiova věta. [lit. Sekanina, Šedivý, Boček, Kočandrle: Geometrie II, knihovna UK, Kuřina: 10 Geometrických transformací, knihovna UK]
Polynomy - Hornerovo schéma a příslušné větičky (na přání), příklady v komplexních číslech, příklady na pravděpodobnost s hracími kostkami. [lit. Slavík: Neobvyklé sady hracích kostek]
Dôkazi a chiby - Struktura mat. teorie: hypotéza, věta, lemma, důsledek, důkaz, definice. Typy vět: implikace, ekvivalence, o existenci, o jednoznačnosti a jejich obměny. Metody (ne)důkazů: protipříklad, exhaustivní metoda. Metody důkazů: přímý, sporem, reductio ad absurdum, obměna, důkaz existence, důkaz jednoznačnosti, matematická indukce. Chyby v důkazech. [lit. Classic Fallacies]
Výuka v minulom roku:
Obsah trojuholníka na niekoľko spôsobov
- Opakovanie vzťahov s komplexnými číslami, determinanty, Hérónov vzorec a jeho odvodenie; využitie orientovaného obsahu trojuholníka pri dôkaze špeciálneho prípadu Pappovej vety;
Téma na prianie: Sférická (kruhová) inverzia - Odvodenie základných vzťahov, vzťahy s podobnosťou a stereografickou projekciou, Möbiov priestor, základné konštrukcie, priamky a kružnice, Apolloniove úlohy;
Matice a determinanty - Cramerovo pravidlo, skalárny, vektorový a vonkajší (zmiešaný) súčin, vyjadrenie objemu cez determinant;
Polohové vzťahy v rovine - Využitie vektorov, matíc a determinantov, skalárneho a vektorového súčinu k odvodeniu incidenčných vzťahov bodov a priamok; Projektívne rozžírenie eukleidovskej roviny, homogénne súradnice;
Klasifikácia zhodností v rovine a priestore, klasifikácia podobností v rovine a priestore, samodružné body a priamky, vlastné čísla a vektory;
Kombinatorika/pravdepodobnosť - netradičné sady hracích kociek;