Vypracovaný domácí úkol odevzdejte prosím (nejpozději) na následujícím cvičení.

1. (12.10.) Najděte pro každé prvočíslo p a každé přirozené číslo n všechna celočíselná řešení rovnice (x²)mod pⁿ = 1 a dokažte, že se jedná o všechna celočíselná řešení.
   (2 body)
   
   
2. (19.10.) Nechť (G, . ) je pologrupa. Dokažte, že existuje takový monoid (M, . ,1), že M obsahuje G, |M-G|<2 a (G, . ) je podpologrupa pologrupy (M, . ).
   (2 body)
   
   
3. +
4. (9.11.) Spočítejte kolik prvků má grupa automorfismů cyklické grupy řádu n. Rozhodněte, zda platí tvrzení: jestliže |Aut(Z_n,+,-,0)|=|Aut(Z_m,+,-,0)|, pak je Aut(Z_n,+,-,0) izomorfní Aut(Z_m,+,-,0). Svá tvrzení dokažte.
   (4 body)
   
   
--------------------
5. (23.11.) Popište centrum maticové grupy GL(2,T) a své tvrzení dokažte.
   (2 body)
   
   
6. (30.11.) Rozhodněte, zda pro grupu (Z₃,+,-,0) existuje věrná reprezentace stupně dva nad tělesem reálných čísel. Své tvrzení dokažte.
   (2 body)
   
   
7. (7.12.) Nechť (R,+,-,0, . , 1) je okruh a e jeho prvek splňující podmínku e.e=e. Dokažte, že v R existuje prvek f, pro který eR + fR= R a průnik eR a fR je nulový.
   (2 body)
   
   
8. (14.12.) Nechť n je přirozené číslo. Charakterizujte pomocí vlastních čísel nilpotentní prvky maticového okruhu M_n(R), t.j. matice A, pro něž existuje kladné k, že A^k=0.
   (2 body)