Vypracovaný domácí úkol odevzdejte prosím (nejpozději) na následujícím cvičení.

1. (8.10.) Najděte všechna celočíselná řešení rovnice 50x + 135y + 18z = 7 a dokažte, že se jedná o všechna řešení.
   (2 body)
   
   
2. (22.10.) Nechť (M₁, . , 1) a (M₂, . , 1) jsou dva monoidy a f takové zobrazení M₁ do M₂, že f(a.b)=f(a).f(b) pro všechny prvky a,b monoidu M₁. Dokažte, že f(1)=1, jestliže je f bijekce, a že rovnost f(1)=1 pro nebijektivní f obecně neplatí.
   (2 body)
   
   
3. +
4. (12.11.) Spočítejte kolik prvků má grupa automorfismů Aut(Z_n,+,-,0) cyklické grupy řádu n. Rozhodněte, zda platí tvrzení: jestliže |Aut(Z_n,+,-,0)|=|Aut(Z_m,+,-,0)|, pak je Aut(Z_n,+,-,0) izomorfní Aut(Z_m,+,-,0). Svá tvrzení dokažte.
   (4 body)
   
   
--------------------
5. (26.11.) Buď n přirozené číslo. Popište (pomocí Jordanovy věty a pojmu konjugovanost) všechny prvky GL(2,C), které jsou řádu n (jako prvky grupy) a své tvrzení dokažte.
   (2 body)
   
   
6. (3.12.) Mějme (A,+,-,0) komutativní grupu a a V vektorový prostor nad tělesem T. Dokažte, že (End(A),+,-,0,   .  , Id ) a (End(V),+,-,0,   .  , Id ), kde   .   značí skládání zobrazení, jsou okruhy (definice viz 5.1 a 5.2 textu ke cvičení).
   (2 body)
   
   
7. (10.12.) Buď n přirozené číslo a T těleso. Dokažte, že je každý pravý ideál maticového kruhu (M_n(T),+,-,0,   .  , E ) hlavní.
   (2 body)
   
   
8. (17.12.) Buď n přirozené číslo a X množina o n prvcích. Najděte prostý homomorfismsu okruhu P(X) všech podmnožin množiny X (z okruhovou strukturou danou symetrickou diferencí a průnikem, viz cvičení) do maticového okruhu (M_n(Z₂),+,-,0,   .  , E ).
   (2 body)