22.2.

1. Bilineární a kvadratické formy

1.1. Spočítejte ve vektorovém prostoru Z_{5}^{3} souřadnice vektoru v vzhledem k bázi M = ((2, 1, 1), (4, 2, 1), (2, 2, 2)).

(a) v = (4, 2, 1),

(b) v = (3, 2, 2),

(c) v = (0, 0, 0),

(d) v = (2, 2, 0).

(a) Okamžitě vidíme, že (4, 2, 1) = 0 · (2, 1, 1) + 1 · (4, 2, 1) + 0 · (2, 2, 2), tedy {(4, 2, 1)}_{M} = (0, 1, 0)

(b) Podobně jako v (a) i tentokrát určíme souřadnice přímo z definice, protože (3, 2, 2) = 1 · (2, 1, 1) + 0 · (4, 2, 1) + 3 · (2, 2, 2). Dostáváme, že [(3, 2, 2)]_{M} = (1, 0, 3)

(c) Opět z definice vidíme, že {(0, 0, 0)}_{M} = (0, 0, 0).

(d) Hledáme vektor (x_{1}, x_{2}, x_{3}), pro který (2, 2, 0) = x_{1} · (2, 1, 1) + x_{2} · (4, 2, 1) + x_{3} · (2, 2, 2), tedy řešíme soustavu rovnic s maticí

(\begin{matrix}2 & 4 & 2 & | & 2 \\ 1 & 2 & 2 & | & 2 \\ 1 & 1 & 2 & | & 0 \end{matrix}) ∼ (\begin{matrix}2 & 4 & 2 & | & 2 \\ 0 & 0 & 1 & | & 1 \\ 0 & 4 & 0 & | & 3 \end{matrix}) .

Nyní snadno dopočítáme, že {(2, 2, 0)}_{M} = (1, 2, 1). □

1.2. Najděte takovou matici A, aby souřadnice libovolného vektoru v vzhledem k bázi M z předchozího příkladu byli rovny součinu {v}_{M} = vA, kde počítáme nad tělesem Z_{5}.

Označíme-li K_{3} a uvědomíme-li si, že {v}_{K_{3}} = v, pak vidíme, že

{v}_{M} = {v}_{K_{3}}[1]_{K_{3} M}^{T} = v[1]_{K_{3} M}^{T},

tedy A = [1]_{K_{3} M}^{T}. Připomeňme konečně, že [1]_{K_{3} M} = [1]_{MK_{3}}^{−1}, kde matici [1]_{MK_{3}} umíme velmi snadno určit z definice. Tedy standardní metodou počítejme:

(\begin{matrix}2 & 4 & 2 & |1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 2 & |0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 2 & |0 & 0 & 1 \end{matrix}) ∼ (\begin{matrix}1 & 2 & 1 & |3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & |2 & 1 & 0 \\ 0 & 4 & 0 & |0 & 4 & 1 \end{matrix}) ∼ (\begin{matrix}1 & 0 & 0 & |1 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & |0 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & |2 & 1 & 0 \end{matrix})

Zjistili jsme, že [1]_{K_{3} M} = (\begin{matrix}1 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & 4 \\ 2 & 1 & 0 \end{matrix}), a proto A = (\begin{matrix}1 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 0 \end{matrix}). □

1.3. Najděte ve vektorovém prostoru Z_{7}^{2} nad tělesem Z_{7} matici přechodu od báze M = ((2, 1), (2, 3)) k bázi N = ((1, 5), (3, 4)), tj. matici [1]_{NM}, jestliže

(a) M = ((2, 1), (2, 3)) a N = ((1, 5), (3, 4)),
(b) M = ((1, 2), (3, 5)) a N = ((4, 3), (6, 6)).

(a) Uvědomíme si, že matice přechodu od báze M k bázi N je právě maticí [1_{Z_{7}^{2}} ]_{NM} identického homomorfismu vzhledem k bázím N a M, kterou spočteme obvyklým způsobem

[1_{Z_{7}^{2}} ]_{NM} = [1_{Z_{7}^{2}} ]_{K_{2} M} · [1_{Z_{7}^{2}} ]_{NK_{2}} = [1_{Z_{7}^{2}} ]_{MK_{2}}^{−1} · [1_{Z_{7}^{2}} ]_{NK_{2}} =

= (\begin{matrix}2 & 2 \\ 1 & 3 \end{matrix})^{−1} · (\begin{matrix}1 & 3 \\ 5 & 4 \end{matrix}) = (\begin{matrix}0 & 2 \\ 4 & 3 \end{matrix}) .

(b) Počítáme stejně jako v bodě (a):

[1_{Z_{7}^{2}} ]_{NM} = [1_{Z_{7}^{2}} ]_{K_{2} M} · [1_{Z_{7}^{2}} ]_{MK_{2}} = [1_{Z_{7}^{2}} ]_{MK_{2}}^{−1} · [1_{Z_{7}^{2}} ]_{NK_{2}} =

= (\begin{matrix}1 & 3 \\ 2 & 5 \end{matrix})^{−1} · (\begin{matrix}4 & 6 \\ 3 & 6 \end{matrix}) .

Nyní standardním způsobem spočítáme hledaný součin matic:

(\begin{matrix}1 & 3 & |4 & 6 \\ 2 & 5 & |3 & 6 \end{matrix}) ∼ (\begin{matrix}1 & 0 & |3 & 2 \\ 0 & 6 & |2 & 1 \end{matrix}) ∼ (\begin{matrix}1 & 0 & |3 & 2 \\ 0 & 1 & |5 & 6 \end{matrix}) .

Tedy zjistili jsme, že [1_{Z_{7}^{2}} ]_{NM} = (\begin{matrix}3 & 2 \\ 5 & 6 \end{matrix}). □

1.4. Buď A nějaká čtvercová matice stupně n nad tělesem T a definujme zobrazení f : T^{n} × T^{n} → T předpisem f(u, v) = u · A · v^{T} a dále pro každé u ∈ T^{n} dvojici zobrazení f_{u},_{u} f : T^{n} → T podmínkou f_{u}(v) = f(v, u) a _{u}f(v) = f(u, v). Dokažte, že f_{u} a _{u}f jsou pro každé u ∈ T^{n} lineární formy.

Obě zobrazení f_{u} i _{u}f zobrazují vektorový prostor nad tělesem T do tělesa T, tedy stačí ověřit linearitu. Využijeme k tomu vlastnosti sčítání a násobení matic a dostaneme pro každé u, v, v_{1}, v_{2} ∈ T^{n} a každé t ∈ T, že f_{u}(v_{1} + v_{2}) = (v_{1} + v_{2})Au = v_{1}Au + v_{2}Au = f_{u}(v_{1}) + f_{u}(v_{2}) a f_{u}(tv) = tvAu = tf_{u}(v). Symetricky i _{u}f(v_{1} + v_{2}) = uA(v_{1} + v_{2}) =_{u} f(v_{1}) +_{u} f(v_{2}) a _{u}f(tv) = tuAv = t_{u}f(v). □

Poznamenejme, že zobrazení, které jsme zavedli v 1.4 je bilineární forma.

1.5. Uvažujme bilineární formu f z příkladu 1.4 na vektorovém prostoru Z_{5}^{2} pro

matici A = (\begin{matrix}1 & 2 \\ 4 & 3 \end{matrix})

(a) Najděte matici f vzhledem ke kanonické bázi.

(b) Najděte matici f vzhledem k bázi B = ((3, 3), (4, 1)).

(c) Určete bázi levého vrcholu formy f, tj. podprostoru

V_{l}(f) = {u| f(u, v) = 0∀v ∈ Z_{5}^{2}}.

(d) Určete bázi pravého vrcholu formy f, tj. podprostoru

V_{p}(f) = {u| f(v, u) = 0∀v ∈ Z_{5}^{2}}.

(a) Označme [f]_{K_{2}} matici f vzhledem ke kanonické bázi. Postupujeme-li podle definice, tedy uvážíme, že obsahuje na i-tém řádku a j-tém sloupci právě hodnotu

f(e_{i}, e_{j}) = e_{i}Ae_{j}^{T}, vidíme, že [f]_{K_{2}} = A = (\begin{matrix}1 & 2 \\ 4 & 3 \end{matrix}).

(b) Označme [f]_{B} matici f vzhledem k bázi B = ((3, 3), (4, 1)). Využijeme definice a Větu 12.7 z přednášky, která říká, že

[f]_{B} = [1]_{BK_{2}}^{T} · A · [1]_{BK_{2}} = (\begin{matrix}3 & 3 \\ 4 & 1 \end{matrix}) · (\begin{matrix}1 & 2 \\ 4 & 3 \end{matrix}) · (\begin{matrix}3 & 4 \\ 3 & 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix}0 & 0 \\ 2 & 3 \end{matrix})

(c) Uvážíme-li, že vektor u leží v levém vrcholu, právě když je řešením homogenní soustavy s maticí A^{T}, stačí když najdeme bázi řešení této soustavy. Zřejmě tedy hledanou bázi tvoří například vektor (1, 1). Poznamenejme, že podobnou úvahu můžeme využít i pro matice bilineární formy vzhledem k jakékoli jiné bázi C, v takovém případě ovšem najdeme souřadnice hledané báze vrcholu vyjádřené vzhledem k bázi C.

(d) Podobně jako v (c) nahlédneme, že vektor u leží v v pravém vrcholu, právě když je řešením homogenní soustavy s maticí A. Takovým řešením a hledanou bází je tedy například vektor (3, 1). □

1.6. Buď g bilineární forma na racionálním vektorovém prostoru Q^{3} s maticí [g]_{B} =

(\begin{matrix}1 & 2 & 0 \\ 0 & −1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{matrix}) vzhledem k bázi B = ((1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)).

(a) Spočítejte g((1, 1, 0), (1, 1, 1)).

(b) spočítejte g((1, 2, 1), (0, 2, 2)),

(b) najděte matici g vzhledem k bázi M = ((1, 0, 2), (2, −1, 0), (1, 0, 1)).

(a) Protože jsou vektory (1, 1, 0), (1, 1, 1) přímo bázické vektory báze g, údaj odečtem přímo z matice g vzhledem k bázi B, tedy g((1, 1, 0), (1, 1, 1)) = 0.

(b) Využijeme vztah, který říká, jak zjistit hodnotu bilineární formy z matice a souřadnicových vektorů g(u, v) = [u]_{B} · A · [v]_{B}^{T}. Obvyklým způsobem určíme [(1, 2, 1)]_{B} = (1, 1, −1) a [(0, 2, 2)]_{B} = (2, −2, 0), proto

g((1, 2, 1), (0, 2, 2)) = (1, 1, −1) · (\begin{matrix}1 & 2 & 0 \\ 0 & −1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{matrix}) · (\begin{matrix}2 \\ −2 \\ 0 \end{matrix}) = −2.

(c) Nejprve stejně jako v 1.3 standardní cestou spočítáme matici přechodu

[1]_{MB} = [1]_{BK_{3}}^{−1} · [1]_{MK_{3}} = (\begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{matrix})^{−1} · (\begin{matrix}1 & 2 & 1 \\ 0 & −1 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix}2 & 0 & 1 \\ −2 & −1 & −1 \\ 1 & 3 & 1 \end{matrix}) .

Nyní zbývá využít Větu 12.7:

[g]_{M} = [1]_{MB}^{T} · [g]_{B} · [1]_{MB} = (\begin{matrix}2 & −2 & 1 \\ 0 & −1 & 3 \\ 1 & −1 & 1 \end{matrix}) · (\begin{matrix}1 & 2 & 0 \\ 0 & −1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{matrix}) · (\begin{matrix}2 & 0 & 1 \\ −2 & −1 & −1 \\ 1 & 3 & 1 \end{matrix}) .

Snadno dopočítáme, že [g]_{M} = (\begin{matrix}−7 & −9 & −4 \\ 6 & 5 & 4 \\ −2 & −3 & −1 \end{matrix}). □

1.3.

1.7. (a) Najděte matice vzhledem ke kanonické bázi a vzhledem k bázi B symetrické bilineární formy f_{s} a antisymetrické bilineární formy f_{a}, pro které f = f_{s} + f_{a}, kde forma f a báze B jsou z 1.5.

(b) Najděte matice vzhledem k bázi B symetrické bilineární formy g_{s} a antisymetrické bilineární formy g_{a}, pro které g = g_{s} + g_{a}, kde forma g a báze B jsou z 1.6.

(a) Z přednášky víme, že stačí položit f_{s}(u, v) = \frac{1}{2}(f(u, v)+f(v, u)) a f_{a}(u, v) = \frac{1}{2}(f(u, v) − f(v, u)), abychom dostali jednoznačně určenou symetrickou bilineární formu f_{s} a antisymetrickou bilineární formu f_{a}, pro než f = f_{s} + f_{a}. Označme [f_{s}]_{K_{3}} matici f_{s} a [f_{a}]_{K_{3}} matici f_{a} vzhledem ke kanonické bázi. Díky izomorfismu, který pro pevně zvolenou bázi C přiřadí bilineární formě její matici vzhledem k C, můžeme otázku vyřešit přímo v maticovém zápisu, tj.

[f_{s}]_{K_{3}} = 2^{−1} · ([f]_{K_{3}} + [f]_{K_{3}}^{T}) = 3 · ((\begin{matrix}1 & 2 \\ 4 & 3 \end{matrix}) + (\begin{matrix}1 & 4 \\ 2 & 3 \end{matrix})) = (\begin{matrix}1 & 3 \\ 3 & 3 \end{matrix}) ,

[f_{a}]_{K_{3}} = 2^{−1} · ([f]_{K_{3}} − [f]_{K_{3}}) = 3 · ((\begin{matrix}1 & 2 \\ 4 & 3 \end{matrix}) − (\begin{matrix}1 & 4 \\ 2 & 3 \end{matrix})) = (\begin{matrix}0 & 4 \\ 1 & 0 \end{matrix}) .

Všimněme si, že místo druhého výpočtu jsme mohli uvážit, že [f_{a}]_{K_{3}} = [f]_{K_{3}} − [f_{s}]_{K_{3}}.

Při hledání matic [f_{s}]_{B} a [g_{a}]_{B} pracujeme s maticí [f]_{B} bilineární formy f vzhledem k bázi B = ((3, 3), (4, 1)):

[f_{s}]_{B} · ([g]_{B} + [f]_{B}^{T}) = 3 · ((\begin{matrix}0 & 0 \\ 2 & 3 \end{matrix}) + (\begin{matrix}0 & 2 \\ 0 & 3 \end{matrix})) = (\begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 3 \end{matrix}) ,

[f_{a}]_{B} = [f]_{B} − [f_{s}]_{B} = (\begin{matrix}0 & 0 \\ 2 & 3 \end{matrix}) − (\begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix}0 & 4 \\ 1 & 0 \end{matrix}) .

(b) Opět označíme [g_{s}]_{B} matici g_{s} a [g_{a}]_{B} matici g_{a} vzhledem k bázi B a postupujeme stejně jako v příkladu (a):

[g_{s}]_{B} = \frac{1}{2}([g]_{B} + [g]_{B}^{T}) = \frac{1}{2}((\begin{matrix}1 & 2 & 0 \\ 0 & −1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{matrix}) + (\begin{matrix}1 & 0 & 1 \\ 2 & −1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{matrix})) = (\begin{matrix}1 & 1 & \frac{1}{2} \\ 1 & −1 & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 1 \end{matrix}) ,

[g_{a}]_{B} = [g]_{B} − [g_{s}]_{B} = (\begin{matrix}1 & 2 & 0 \\ 0 & −1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{matrix}) − (\begin{matrix}1 & 1 & \frac{1}{2} \\ 1 & −1 & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix}0 & 1 & −\frac{1}{2} \\ −1 & 0 & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & −\frac{1}{2} & 0 \end{matrix} ) .

□

1.8. Buď B čtvercová matice stupně 2 nad tělesem Z_{7} a uvažujme zobrazení f : Z_{7}^{2} × Z_{7}^{2} → Z_{7} dané předpisem f(u, v) = u · B · v^{T}. Určete matici B, víte-li, že f((1, 4), (1, 4)) = f((1, 4), (3, 3)) = 1, f((3, 3), (1, 4)) = 2 a f((3, 3), (3, 3)) = 0.

Z pozorování příkladu 1.4 víme, že je f bilineární forma. Vezmeme-li bázi M = ((1, 4), (3, 3)) vektorového prostoru Z_{7}^{2}, vidíme, že v zadání příkladu máme uvedeny

údaje, které můžeme sepsat do matice [f]_{M} = (\begin{matrix}1 & 1 \\ 2 & 0 \end{matrix}) f bilineární formy f vzhle-

dem k bázi M. Uvážíme-li, že je matice B právě maticí f vzhledem ke kanonické bázi K_{2}, stačí podobně jako v 1.5(b) využít vztahu dokázaného na přednášce

B = [f]_{K_{3}} = [1]_{K_{2} M}^{T} · C · [1]_{K_{2} M}.

Obvyklým způsobem potom spočítáme

[1]_{K_{2} M} = [1]_{MK_{2}}^{−1} = (\begin{matrix}1 & 3 \\ 4 & 3 \end{matrix})^{−1} = (\begin{matrix}2 & 5 \\ 2 & 3 \end{matrix}) ,

a proto

B = [1]_{K_{2} M}^{T} · C · [1]_{K_{2} M} = (\begin{matrix}2 & 2 \\ 5 & 3 \end{matrix}) · (\begin{matrix}1 & 1 \\ 2 & 0 \end{matrix}) · (\begin{matrix}2 & 5 \\ 2 & 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix}2 & 1 \\ 4 & 0 \end{matrix}) .

□

1.9. Buď g bilineární forma daná analytickým vyjádřením

g((x_{1}, x_{2}, x_{3}), (y_{1}, y_{2}, y_{3})) = x_{1}y_{1} + 3x_{1}y_{2} − x_{1}y_{3} + x_{3}y_{1} + 2x_{2}y_{2} − 2x_{3}y_{2}

vzhledem ke kanonické bázi na racionálním vektorovém prostoru Q^{3}.

(a) Najděte matici g vzhledem ke kanonické bázi,

(b) najděte matice symetrické g_{s} a antisymetrické g_{a} části g vzhledem ke kanonické bázi,

(c) určete analytické vyjádření symetrické g_{s} a antisymetrické g_{a} části g vzhledem ke kanonické bázi,

(d) spočítejte dimenze levého a pravého vrcholu bilineárních forem g, g_{s} a g_{a}.

(a) Stačí využít Větu 12.3 a uvědomit si, že koeficient u členu x_{i}y_{j} v analytickém vyjádření vzhledem ke kanonické bázi je právě hodnota na i-tém řádku a j-tém sloupci matice bilineární formy vzhledem ke kanonické bázi, tedy

[g]_{K_{3}} = (\begin{matrix}1 & 3 & −1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & −2 & 0 \end{matrix}) .

(b) Postupujeme jako v 1.7 s využitím známé matice [g]_{K_{3}}, proto [g_{s}]_{K_{3}} =

\frac{1}{2}([g]_{K_{3}} + [g]_{K_{3}}^{T}) = (\begin{matrix}1 & \frac{3}{2} & 0 \\ \frac{3}{2} & 2 & −1 \\ 0 & −1 & 0 \end{matrix}) a [g_{a}]_{K_{3}} = [g]_{K_{3}} − [g_{s}]_{K_{3}} = (\begin{matrix}0 & \frac{3}{2} & −1 \\ −\frac{3}{2} & 0 & 1 \\ 1 & −1 & 0 \end{matrix}) .

(c) Užijeme úvahu připomenutou v (a), abychom z matic nalezených v (b) dostali

g_{s}((x_{1}, x_{2}, x_{3}), (y_{1}, y_{2}, y_{3})) = x_{1}y_{1} + \frac{3}{2}x_{1}y_{2} + \frac{3}{2}x_{2}y_{1} + 2x_{2}y_{2} − x_{2}y_{3} − x_{3}y_{2},

g_{a}((x_{1}, x_{2}, x_{3}), (y_{1}, y_{2}, y_{3})) = \frac{3}{2}x_{1}y_{2} − \frac{3}{2}x_{2}y_{1} − x_{1}y_{3} + x_{3}y_{1} + x_{2}y_{3} − x_{3}y_{2}.

(d) Využijeme Větu 12.10(iii), která říká, že dimenze levého i pravého vrcholu nějaké bilineární formy f na vektorovém prostoru dimenze n je rovna n−h([f]_{B}) pro libovolnou bázi B. Snadno spočítáme, že h([g]_{K_{3}}) = h([g_{s}]_{K_{3}}) = 3 a h([g_{a}]_{K_{3}}) = 2, a proto jádra levého a pravého vrcholu bilineárních forem g, g_{s} mají dimenzi 0 a jádra levého a pravého vrcholu bilineárních forem g_{a} mají dimenzi 1. □

1.10. Najděte nějakou polární bázi symetrické bilineární formy g na vektorovém prostoru R^{2} dané předpisem g((x_{1}, x_{2}), (y_{1}, y_{2})) = x_{1}y_{1} − 3x_{1}y_{2} − 3x_{2}y_{1} + 2x_{2}y_{2}.

Nejprve obvyklým způsobem určíme matici symetrické bilineární formy g vzhle-

dem ke kanonické bázi [g]_{K_{2}} = (\begin{matrix}1 & −3 \\ −3 & 2 \end{matrix}). Matici [g]_{K_{2}} upravujeme posloupností

symetrických elementárních úprav, tedy v každém kroku provádíme vždy stejnou řádkovou a sloupcovou úpravu tak, abychom nakonec dostali diagonální matici. Řádkové úpravy budeme zachycovat obvyklým způsobem (jako při hledání inverzní matice) do matice.

(\begin{matrix}1 & −3 & | & 1 & 0 \\ −3 & 2 & | & 0 & 1 \end{matrix}) ∼_{s} (\begin{matrix}1 & 0 & | & 1 & 0 \\ 0 & −7 & | & 3 & 1 \end{matrix}) .

Budeme-li vzniklou diagonální matici chápat jako matici bilineární formy f vzhledem k nějaké nové bázi M, vidíme, že vpravo dostáváme matici transponova-

nou k matici přechodu od kanonické báze k bázi M, tedy [1]_{MK_{2}} = (\begin{matrix}1 & 3 \\ 0 & 1 \end{matrix}). Nyní

snadno určíme bázi M = ((1, 0), (3, 1)), vůči níž je matice f diagonální, tedy M je polární báze f. □

8.3.

1.11. Najděte nějakou polární bázi symetrické bilineární formy f a matici f vzhledem k polární bázi, je-li

(a) f bilineární forma na vektorovém prostoru Q^{2} s maticí [f]_{K_{2}} = (\begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix})

vzhledem ke kanonické bázi,

(b) f bilineární forma na vektorovém prostoru Z_{5}^{2} s analytickým vyjádřením f((x_{1}, x_{2}), (y_{1}, y_{2})) = 2x_{1}y_{2} + 2x_{2}y_{1} + x_{2}y_{2} vzhledem ke kanonické bázi,

(c) f bilineární forma na vektorovém prostoru Z_{5}^{2} s maticí [f]_{B} = (\begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 3 \end{matrix})

vzhledem k bázi B = ((1, 2), (2, 3)),

(d) f bilineární forma na vektorovém prostoru R^{3} s analytickým vyjádřením f((x_{1}, x_{2}, x_{3}), (y_{1}, y_{2}, y_{3})) = x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}−x_{2}y_{3}−x_{3}y_{2} vzhledem ke kanonické bázi,

(e) f bilineární forma na vektorovém prostoru Z_{7}^{3} s maticí [f]_{B} = (\begin{matrix}1 & 6 & 0 \\ 6 & 3 & 2 \\ 0 & 2 & 2 \end{matrix})

vzhledem k bázi B = ((1, 0, 2), (1, 0, 1), (0, 3, 1)).

Postupujeme stejně jako v příkladu 1.10.

(a) Pracujeme-li s maticí (\begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}), zjevně nám při hledání polární báze nepomůže

přehození dvou řádků, jak jsme na to byli zvyklí u Gaussovy eliminace, protože následnou výměnou dvou sloupců, vynucenou symetrickými úpravami, dostáváme původní matici. Místo toho přičteme druhý řádek k prvnímu a poté druhý sloupec k prvnímu (uvědomme si, že tento postup v maticovém zápisu odpovídá úvaze Věty 12.23) a následně už můžeme postupovat standardně:

(\begin{matrix}0 & 1 & | & 1 & 0 \\ 1 & 0 & | & 0 & 1 \end{matrix}) ∼_{s} (\begin{matrix}2 & 1 & | & 1 & 1 \\ 1 & 0 & | & 0 & 1 \end{matrix}) ∼_{s} (\begin{matrix}2 & 0 & | & 1 & 1 \\ 0 & −\frac{1}{2} & | & −\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{matrix}) .

Tedy [1]_{P K_{2}} = (\begin{matrix}1 & −\frac{1}{2} \\ 1 & \frac{1}{2} \end{matrix}) je matice přechodu od kanonické báze k polární bázi

P, proto P = ((1, 1), (−\frac{1}{2}, \frac{1}{2})) a [f]_{P} = (\begin{matrix}2 & 0 \\ 0 & −\frac{1}{2} \end{matrix}).

(b) Nejprve snadno určíme matici [f]_{K_{2}} = (\begin{matrix}0 & 2 \\ 2 & 1 \end{matrix}) vzhledem ke kanonické bázi.

Tentokrát nám k úpravě matice symetrická výměna řádku a sloupce pomůže, na-

opak obdobná úprava jako v příkladu (a) (\begin{matrix}0 & 2 \\ 2 & 1 \end{matrix}) ∼_{s} (\begin{matrix}0 & 3 \\ 3 & 1 \end{matrix}) je zbytečná a k

nalezení diagonální matice nevede. Počítáme tedy

(\begin{matrix}0 & 2 & | & 1 & 0 \\ 2 & 1 & | & 0 & 1 \end{matrix}) ∼_{s} (\begin{matrix}1 & 2 & | & 0 & 1 \\ 2 & 0 & | & 1 & 0 \end{matrix}) ∼_{s} (\begin{matrix}1 & 0 & | & 0 & 1 \\ 0 & 1 & | & 1 & 3 \end{matrix}) .

Tedy v řádcích pravé poloviny poslední matice nacházíme bázi P = ((0, 1), (1, 3)), pro níž [f]_{P} = E.

(c) Postupovali-li bychom stejně jako v úloze (a) a upravovali-li bychom sy-

metrickými úpravami matici (\begin{matrix}0 & 1 & | & 1 & 0 \\ 1 & 3 & | & 0 & 1 \end{matrix}) našli bychom, poté, co bychom v

levé části matice dostali diagonální matici, v pravé části právě matici transponovanou k matici přechodu od báze B ke hledané polární bázi P. Uvážíme-li, že [1]_{P K_{2}}^{T} = [1]_{P B}^{T} · [1]_{BK_{2}}^{T}, stačí abychom místo jednotkové matice umístili napravo transponovanou matici přechodu od od kanonické báze k bázi B a tu obvyklým způsobem upravovali:

(\begin{matrix}0 & 1 & | & 1 & 2 \\ 1 & 3 & | & 2 & 3 \end{matrix}) ∼_{s} (\begin{matrix}3 & 1 & | & 2 & 3 \\ 1 & 0 & | & 1 & 2 \end{matrix}) ∼_{s} (\begin{matrix}3 & 0 & | & 2 & 3 \\ 0 & 3 & | & 2 & 1 \end{matrix}) .

Vidíme, že pravé části poslední matice máme transponovanou matici přechodu [1]_{P K_{2}}^{T} = [1]_{P B}^{T} ·[1]_{BK_{2}}^{T} od kanonické báze k polární bázi P, proto P = ((2, 3), (2, 1)).

Konečně [f]_{P} = (\begin{matrix}3 & 0 \\ 0 & 3 \end{matrix}).

(d) Postupujeme stejně jako v případě (a) a (b), tedy určíme matici [f]_{K_{3}} =

(\begin{matrix}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & −1 \\ 0 & −1 & 0 \end{matrix}) bilineární formy f vzhledem ke kanonické bázi a pak standardně

symetricky upravujeme, tentokrát se symetrickým násobením řádků a sloupců vyhneme zlomkům:

(\begin{matrix}0 & 1 & 0 & | & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & −1 & | & 0 & 1 & 0 \\ 0 & −1 & 0 & | & 0 & 0 & 1 \end{matrix}) ∼_{s} (\begin{matrix}2 & 1 & −1 & | & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & −1 & | & 0 & 1 & 0 \\ −1 & −1 & 0 & | & 0 & 0 & 1 \end{matrix}) ∼_{s}

∼_{s} (\begin{matrix}2 & 2 & −2 & | & 1 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & −4 & | & 0 & 2 & 0 \\ −2 & −4 & 0 & | & 0 & 0 & 2 \end{matrix}) ∼_{s} (\begin{matrix}2 & 0 & −2 & | & 1 & 1 & 0 \\ 0 & −2 & −6 & | & −1 & 1 & 0 \\ −2 & −6 & 0 & | & 0 & 0 & 2 \end{matrix}) ∼_{s}

∼_{s} (\begin{matrix}2 & 0 & 0 & | & 1 & 1 & 0 \\ 0 & −2 & −6 & | & −1 & 1 & 0 \\ 0 & −6 & −2 & | & 1 & 1 & 2 \end{matrix}) ∼_{s} (\begin{matrix}2 & 0 & 0 & | & 1 & 1 & 0 \\ 0 & −2 & 0 & | & −1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 16 & | & 4 & −2 & 2 \end{matrix}) ∼_{s}

∼_{s} (\begin{matrix}2 & 0 & 0 & | & 1 & 1 & 0 \\ 0 & −2 & 0 & | & −1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & | & 2 & −1 & 1 \end{matrix}) .

Dostáváme polární bázi P = ((1, 1, 0), (−1, 1, 0), (2, −1, 1)) a matici bilineární formy

[f]_{P} = (\begin{matrix}2 & 0 & 0 \\ 0 & −2 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{matrix}) vzhledem k P.

(e) Tentokrát uvažujeme stejně jako v (c), proto upravujeme matici

(\begin{matrix}1 & 6 & 0 & | & 1 & 0 & 2 \\ 6 & 3 & 2 & | & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 2 & | & 0 & 3 & 1 \end{matrix}) ∼_{s} (\begin{matrix}1 & 0 & 0 & | & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 2 & | & 2 & 0 & 3 \\ 0 & 2 & 2 & | & 0 & 3 & 1 \end{matrix}) ∼_{s}

∼_{s} (\begin{matrix}1 & 0 & 0 & | & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 0 & | & 2 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & | & 5 & 3 & 5 \end{matrix}) .

Našli jsme polární bázi P = ((1, 0, 2), (2, 0, 3), (5, 3, 5)), vůči níž má bilineární forma

f matici [f]_{P} = (\begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}). □

1.12. Najděte bázi vrcholu symetrické bilineární formy f z příkladu 1.11(e).

Podle Věty 13.8 stačí vzít ty vektory nalezené polární báze, na nichž je hodnota f nulová. Proto bázi vrcholu tvoří právě vektor (5, 3, 5). □

1.13. Buď h symetrická bilineární forma na vektorovém prostoru Z_{7}^{5} daná podmínkou h(e_{i}, e_{j}) = 2 pro všechna i, j = 1, …, n Najděte nějakou bázi vrcholu a nějakou polární bázi h.

Z podmínky, jíž je zadána bilineární forma h, vidíme, že matice h vzhledem ke ka-

nonické bází sestává ze samých dvojek, tedy [h]_{K_{5}} = (\begin{matrix}2 & 2 & 2 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 2 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 2 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 2 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 2 & 2 & 2 \end{matrix}). Hledáme-li

vrchol, stačí jako obvykle vyřešit homogení soustavu rovnic s maticí [h]_{K_{5}}. Vidíme, že například posloupnost M = ((6, 1, 0, 0, 0), (6, 0, 1, 0, 0), (6, 0, 0, 1, 0), (6, 0, 0, 0, 1)) je báze vrcholu h. Vzhledem k tomu, že je hodnost dané bilineární formy (tj. hodnost kterékoli její matice) rovna jedné, stačí nám v tomto případě pro nalezení polární báze najít libovolný doplněk posloupnosti M na bázi Z_{7}^{5} (v jednodimenzionálním doplňku totiž už není co dále upravovat). Tedy například posloupnost N = ((6, 1, 0, 0, 0), (6, 0, 1, 0, 0), (6, 0, 0, 1, 0), (6, 0, 0, 0, 1), (1, 0, 0, 0, 0)) je

polární báze h a matice h vzhledem k N je [h]_{N} = (\begin{matrix}0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2 \end{matrix}). □

15.3.

1.14. Rozhodněte, zda je zobrazení h_{2} : R^{2} → R dané předpisem h_{2}(x_{1}, x_{2}) = x_{1}^{2} + 4x_{1}y_{2} + 3x_{2}^{2} kvadratická forma.

Snadno nahlédneme, že můžeme dané zobrazení vyjádřit ve tvaru h_{2}(x_{1}, x_{2}) =

(x_{1}, x_{2})·(\begin{matrix}1 & 2 \\ 2 & 3 \end{matrix})·(\begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}), a proto je h_{2}(x_{1}, x_{2}) = h((x_{1}, x_{2}), (x_{1}, x_{2})) pro symetrickou

bilineární formu h s maticí vzhledem ke kanonické bázi [h]_{K_{2}} = (\begin{matrix}1 & 2 \\ 2 & 3 \end{matrix}). Tedy

h_{2}(u) = h(u, u) je podle definice kvadratická forma. □

1.15. Najděte symetrickou bilineární formu f na Z_{5}^{3}, která vytváří kvadratickou formu f_{2} danou analytickým vyjádřením f_{2}(x_{1}, x_{2}, x_{3}) = 3x_{1}^{2}+x_{1}x_{2}+2x_{2}^{2}+3x_{2}x_{3}+ 4x_{3}^{2}. Určete vrchol f_{2}.

Stejně jako v předchozí úloze přímočaře (tj. ţrozpůlením” koeficientů u členů x_{i}y_{j} pro i ≠ j) určíme matici hledané symetrické bilineární formy f vzhledem

ke kanonické bázi [f]_{K_{3}} = (\begin{matrix}3 & 3 & 0 \\ 3 & 2 & 4 \\ 0 & 4 & 4 \end{matrix}). Tuto bilineární formu můžeme popsat i

analyticky (vzhledem ke kanonické bázi):

f((x_{1}, x_{2}, x_{3}), (y_{1}, y_{2}, y_{3})) = 3x_{1}y_{1} +3x_{1}y_{2} +3x_{2}y_{1} +2x_{2}y_{2} +4x_{2}y_{3} +4x_{3}y_{2} +4x_{3}y_{3}.

Vzhledem k tomu, že vrcholem kvadratické formy je pravý (nebo levý) vrchol symetrické bilineární formy f, která vytváří kvadratickou formu f_{2}, stačí najít řešení homogenní soustavy rovnic s maticí [f]_{K_{3}}. Protože

[f]_{K_{3}} = (\begin{matrix}3 & 3 & 0 \\ 3 & 2 & 4 \\ 0 & 4 & 4 \end{matrix}) ∼ (\begin{matrix}1 & 1 & 0 \\ 0 & 4 & 4 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix})

je vrchol V (f) = V (f_{2}) = ⟨(1, 4, 1)⟩. □

1.16. Najděte nějakou polární bázi kvadratické formy f_{2} na vektorovém prostoru Z_{7}^{3} s analytickým vyjádřením f_{2}(x_{1}, x_{2}, x_{3}) = 2x_{1}^{2} + x_{1}x_{3} + x_{2}^{2} + 4x_{2}x_{3}.

Stejně jako v předchozí úloze snadno určíme matici [f]_{K_{3}} = (\begin{matrix}2 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & 2 \\ 4 & 2 & 0 \end{matrix}) syme-

trické bilineární formy f, která vytváří kvadratickou formu f_{2}, vzhledem ke kanonické bázi a poté postupujeme standardně:

(\begin{matrix}2 & 0 & 4 & |1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & |0 & 1 & 0 \\ 4 & 2 & 0 & |0 & 0 & 1 \end{matrix}) ∼_{s} (\begin{matrix}2 & 0 & 0 & |1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & |0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 6 & |5 & 0 & 1 \end{matrix}) ∼_{s} (\begin{matrix}2 & 0 & 0 & |1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & |0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & |5 & 5 & 1 \end{matrix}) .

V řádcích pravé strany upravené matice vidíme, že polární bázi f tvoří například vektory (1, 0, 0), (0, 1, 0), (5, 5, 1). □

1.17. Uvažujme kvadratickou formu g_{2} = x_{1}^{2} − 6x_{1}y_{2} + 2x_{2}^{2} Existuje-li, najděte nenulový vektor v ∈ R^{2}, pro který

(a) g_{2}(v) > 0,

(b) g_{2}(v) < 0,
(c) g_{2}(v) = 0,

kde g_{2} je kvadratická forma vytvořená bilineární formou z příkladu 1.10.

(a) Snadno určíme matici [g]_{K_{2}} = (\begin{matrix}1 & −3 \\ −3 & 2 \end{matrix}) vytvářející symetrické bilineární

formy g vzhledem ke kanonické bázi a okamžitě z ní vidíme, že hodnota g_{2} je kladná například na obou vektorech kanonické báze, tedy g_{2}(e_{1}) = 1 a g_{2}(e_{2}) = 2.

(b) Potřebujeme zjistit, zda je či není kvadratická forma g_{2} pozitivně semidefinitní. Není-li, pak existuje vektor v na němž je hodnota g_{2} záporná. V příkladu

1.10 jsme našli polární bázi M = ((1, 0), (3, 1)) a matici [g]_{M} = (\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & −7 \end{matrix}). Protože

má matice g vzhledem bázi M jedno kladné a jedno záporné číslo, je g indefinitní. Opět přímo z matice vidíme, že g_{2}((3, 1)) = −7.

(c) Vyjádřeme si hledaný vektor v pomocí známé polární báze M, tedy v = a · (1, 0) + b · (3, 1), tj. {v}_{M} = (a, b). Nyní víme, že g_{2}(v) = {v}_{M}[g_{2}]_{M}[v]_{M}^{T}. = a^{2} − 7 · b^{2}. Chcem-li, aby g_{2}(v) = 0, dostáváme rovnici a^{2} − 7 · b^{2} = 0, kterou řeší například (a, b) = (\sqrt{7}, 1). Našli jsme tedy vektor v = \sqrt{7} · (1, 0) + 1.(3, 1) = (\sqrt{7} + 3, 1), pro nějž platí, že g_{2}(v) = 0. □

1.18. Spočítejte signaturu symetrické bilineární formy h na R^{3} dané kvadratickou formou h_{2}((x_{1}, x_{2}, x_{3})) = x_{1}^{2} + 2x_{1}x_{2} + 6x_{1}x_{3} + 3x_{2}^{2} + 6x_{2}x_{3} + 5x_{3}^{2}.

Obvyklým způsobem určíme matici [h]_{K_{3}} = (\begin{matrix}1 & 1 & 3 \\ 1 & 3 & 3 \\ 3 & 3 & 5 \end{matrix}) a tuto matici upravíme

posloupností symetrických úprav na diagonální matici:

(\begin{matrix}1 & 1 & 3 \\ 1 & 3 & 3 \\ 3 & 3 & 5 \end{matrix}) ∼_{s} (\begin{matrix}1 & 0 & 3 \\ 0 & 2 & 0 \\ 3 & 0 & 5 \end{matrix}) ∼_{s} (\begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & −4 \end{matrix})

Protože víme, že existuje polární báze M vůči níž má symetrická bilineární forma h

matici [h]_{P} = (\begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & −4 \end{matrix}), stačí podle definice přepočítat nuly, kladná čísla a zá-

porná čísla na diagonále této matice a seřadit údaje do signatury (0, 2, 1) symetrické bilineární formy h. □

1.19. Rozhodněte, zda existuje vektor v a zda existuje vektor u, aby pro kvadratickou formu h_{2} z úlohy 1.18 platilo h_{2}(v) < 0 a h_{2}(u) = 0.

V příkladu 1.18 jsem zjistili, že je kvadratická forma h_{2} indefinitní, tedy existují vektory v a u, pro které platí h_{2}(v) < 0 a h_{2}(u) = 0. □

1.20. Rozhodněte, zda existují reálná čísla x_{1}, x_{2}, x_{3}, pro která

x_{1}^{2} − 4x_{1}x_{2} − 2x_{1}x_{3} + 4x_{2}^{2} + 3x_{3}^{2} < 0.

Definujeme-li kvadratickou formu g_{2} = 2x_{1}^{2} − 4x_{1}x_{2} − 4x_{1}x_{3} + 4x_{2}^{2} + 5x_{3}^{2}, vidíme, že řešíme stejnou úlohu jako 1.19, stačí nám tedy zjistit signaturu g_{2}. Symetrickými úpravami tedy bude upravovat matici [g]_{K_{3}} vytvářející bilineární formy g

[g]_{K_{3}} = (\begin{matrix}2 & −2 & −2 \\ −2 & 4 & 0 \\ −2 & 0 & 5 \end{matrix}) ∼_{s} (\begin{matrix}2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & −2 \\ 0 & −2 & 3 \end{matrix}) ∼_{s} (\begin{matrix}2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) .

Zjistili jsme, že signatura g_{2} je (0, 3, 0), tedy g_{2} je pozitivně definitní, a proto g_{2}(v) ≥ 0 pro všechny vektory v ∈ R^{3}. Hledaná reálná čísla tedy neexistují. □

1.21. Nechť h je symetrická bilineární forma na reálném vektorovém prostoru R^{3}

s maticí [h]_{B} = (\begin{matrix}1 & −1 & −1 \\ −1 & 2 & 1 \\ −1 & 1 & 5 \end{matrix}) vzhledem k nějaké bázi B. Rozhodněte, zda je h

skalární součin na R^{3}.

Položme A = [h]_{B} a označme A_{i} matici, která vznikne z A vynecháním posledních n − i řádků a sloupců a využijme tentokrát Důsledek 13.17 z přednášky, podle nějž stačí zjistit, zda jsou všechny subdeterminanty detA_{1} kladné. Tedy počítáme

detA_{1} = 1, detA_{2} = det(\begin{matrix}1 & −1 \\ −1 & 2 \end{matrix}) = 2 − 1 = 1, detA_{3} = det (\begin{matrix}1 & −1 & −1 \\ −1 & 2 & 1 \\ −1 & 1 & 5 \end{matrix}) =

10 + 1 + 1 − 2 − 5 − 1 = 4, což znamená, že h je skalární součin. □

Další úlohy

(1) Dokažte, že je bilineární forma zobrazení f : R^{3} × R^{3} → R definované předpisem f((x_{1}, x_{2}, x_{3}), (y_{1}, y_{2}, y_{3})) = 2x_{1}y_{1} + 3x_{1}y_{2} − x_{1}y_{3} − 2x_{3}y_{2}.

(2) Najděte matici f z předchozí úlohy vzhledem (a) ke kanonické bázi,

(b) k bázi B = ((1, −1, 0), (1, 1, 0)(1, 2, 1)),

(c) k bázi C = ((0, 1, 0), (−1, 1, −1)(−1, 2, 0)).

(3) Nechť f = f_{s} + f_{a} je rozklad bilineární formy f z příkladu 1 na symetrickou a antisymetrickou část, tj. f_{s} je symetrická bilineární forma f_{a} je antisymetrická bilineární forma. Najděte matice f_{s} a f_{a} vzhledem

(a) ke kanonické bázi,

(b) k bázi B = ((1, −1, 0), (1, 1, 0)(1, 2, 1)),

(c) k bázi C = ((0, 1, 0), (−1, 1, −1)(−1, 2, 0)).

(4) Uvažujme symetrickou bilineární formu g na reálném vektorovém prostoru

R^{4} s maticí [g]_{K_{4}} = (\begin{matrix}1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \end{matrix}) vzhledem ke kanonické bázi K_{4}. daná

předpisem g_{2}(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) = x_{1}x_{2} + x_{1}x_{3} + x_{1}x_{4} + x_{2}x_{3} + x_{2}x_{4} + x_{3}x_{4}

(a) Najděte polární bázi g,

(b) rozhodněte, zda je g skalární součin na R^{4},

(c) najděte všechny vektory v ∈ R^{4}, pro které g_{2}(v) = 0.

(5) Buď g_{2} kvadratická forma na Z_{3}^{4} daná předpisem g_{2}(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) = x_{1}x_{2}+ x_{1}x_{3} + x_{1}x_{4} + x_{2}x_{3} + x_{2}x_{4} + x_{3}x_{4}

(a) Najděte symetrickou bilineární formu g, pro níž g_{2}(v) = g(v, v),

(b) určete matici g vzhledem k bázi B = ((1, 1, 0, 0), (2, 1, 0, 0)(0, 0, 2, 2), (0, 0, 1, 2)), (c) určete matici g vzhledem k kanonické bázi,

(d) spočítejte bázi vrcholu symetrické bilineární formy g,

(e) najděte polární bázi P symetrické bilineární formy g,

(f) najděte matici g vzhledem k nalezené bázi P.