Komutativní okruhy


Průběh přednášky a cvičení

   (3.10.) Přednáška: Základní pojmy teorie komutativních okruhů, jejich základní vlastnosti a příklady (obory, ideály, prvoideály, maximální a hlavní ideály), dělitelnost. Princip lokalizace komutativního okruhu v multiplikativní množině [D,VI.2].
Cvičení: Lokalizace v celých číslech, ekvivalence "krácení".

   (10.10.) Přednáška: Univerzální vlastnost lokalizace [D,VI.2.1], multiplikativní množiny a prvoideály [D,I.3.7]. Odmocnina z ideálu a prvoideály [D, I.3.12], Nilradikál a Jacobsonův radikál [D, I.3.13, I.3.14]. Počítání s ideály, komaximální ideály a Čínská věta o zbytcích [D, I.3.1.- I 3.3].
Cvičení: Struktura svazu ideálů lokalizace celých čísel v prvoideálu, její nildradikál a Jacobsonův radikál.

   (17.10.) Přednáška: Gaussovo lemma a Gaussova věta [S, 9.1, 9.2, 9.5-9.8] nebo [D, I.2.4-7]. Faktor Gaussova oboru podle prvoideálů nemusí být Gaussův, každý komutativní okruh je faktorem nějakého Gassova oboru Z[X].
Cvičení: Výpočet vzorů v Čínské větě o zbytcích. Okruhy a obory s konečným počtem ideálů: součin konečně mnoha těles, lokalizace v dopňku sjednocení maximálních ideálů (realizace v celých číslech).

   (24.10.) Přednáška: Zavedení modulů, podmodulů, faktorových modulů a modulových homomorfismů. Jejich základní vlastnosti (zobecnění vlastností známých pro grupy či vektorové prostory), Věty o izomorfismu. Noetherovské moduly a okruhy [D, I.1.5-6, I.5.1], Hilbertova věta o bázi [D, I.2.1].

   (31.10.) Přednáška: Direktní suma modulů, její vnější a vnitřní popis [D, I.4.1], popis volné báze [D, I.4.4], hodnost volného modulu [D, I.4.7], volný faktorový modul [D, I.4.11]. Matice přechodu mezi volnými bázemi volného modulu konečné hodnosti.
Cvičení: Volnost modulu R(A) nad okruhem R. Torzní část modulu nad oborem integrity, beztorzní moduly [D, I.5.2].

   (7.11.) Přednáška: Obsah prvku volného modulu, souvislost s volbou volné báze a podmoduly v oboru integrity hlavních ideálů [D, I.4.9, I.4.10], torzní podmodul, direktní rozklad konečně generovaného modulu na torzní a volnou část [D, I.5.4,6]. Podmoduly volného modulu konečné hodnosti nad obory hlavních ideálů jsou volné [D, I.6.2-3], důsledky pro hodnost podmodulů [D, I.5.5] a direktní rozklad konečně generovaného moduly na cyklické moduly [D, I.6.5].
Cvičení: Z-modul Q racionálních čísel: beztorzní, uniformní, nekonečně generovaný, není volný.

   (14.11.) Přednáška: Existence a jednoznačnost direktních rozkladů konečně generovaných modulů nad obory hlavních ideálů na cyklické moduly s klesající posloupností anihilátorů [D, I.6.7-8], struktura torzních modulů [D, I.5.3].
Cvičení: Z-modul Q racionálních čísel: konečně generované podmoduly Q jsou cyklické, existence nekonečně (mnoha) generovaných podmodulů, HomZ(Q,Z) = 0 = HomZ(Q,Zn), základní vlastnosti ideálu (A:B) [D, I.6.6].

   (21.11.) Přednáška: Existence a jednoznačnost direktně nerozložitelných direktních rozkladů konečně generovaných modulů nad obory hlavních ideálů [D, I.5.3 - I.5.7]. Algebraická rozšíření a algebraické uzávěry těles [D, část II.1].
Cvičení: Direktní rozklady konečně generovaných Z-modulů.

   (28.11.) Přednáška: Stupeň separability a separabilní rozšíření [D, II.2.1 - 4], separabilní uzávěr [D, II.2.6], existence ireducibilních neseparabilních polynomů [D, II.2.7], algebraická rozšíření perfektních těles jsou separabilní [D, II.2.8], separabilní rozšíření konečného stupně je jednoduché [D, II.3.1].
Cvičení: Příklady neperfektních těles (Q = podílové těleso oboru polynomů Zp[y] pro p prvočíslo), neseparabilních ireducibilních polynomů (xp-y v okruhu Q[y] ) a neseparabilních algebraických rozšíření S=Q[y1/p] nad Q, kde y1/p je (nový) p-násobný kořen polynomu xp-y a kde [S:Q]=p a [S:Q]s=1.

   (5.12.) Přednáška: Galoisovo rozšíření je právě rozkladové nadtěleso ireducibilního separabilního polynomu [D, II.3.4], normální rozšíření je právě rozkladové nadtěleso množiny polynomů [D, II.3.5]. Galoisova grupa a podtěleso pevných bodů [D, II.3.2, II.3.7-9], Galoisova korespondence a Hlavní věta Galoisovy teorie [D, II.4.3].
Cvičení: Normální uzávěr.

   (12.12.) Přednáška: Norma, stopa, charakteristický polynom, jejich souvislost s minimálním polynomem [D, II.5.1]. Výpočet a skládání normy a stopy [D, II.5.2-3]. Stopa součinu prvků jako regulární bilineární forma a diskriminant [D, II.5.5-7].
Cvičení: Galoisova grupa rozkladové nadtěleso polynomu xp-1 nad tělesem nad Q, Galoisova grupa rozšíření konečných těles. Komutativita Galoisovy grupa rozkladových nadtěles polynomu xn-1 [R, 3.26].

   (19.12.) Přednáška: Nealgebraické rozšíření těles, algebraická nezávislost a lemma o výměně [D, II.6.1-5], transcendentní báze a stupeň transcendence [D, II.6.6-8], algebry nad (neotherovským) komutativním okruhem [D, II.7.1-2].
Cvičení: Ireducibilita cyklotomického polynomu t_p pro prvočíslo p [text Š.Holuba k přednášce Teorie čísel a RSA]. Transcendentní prvky a transcendentní báze podílového tělesa T(X) okruhu polynomů T[X] nad tělesem T.

   (2.1.) Přednáška: Konečně generované algebry [D, II.7.3-7.5], Afinní K-algebry [D, II.7.6-7], Hilbertova věta o nulách [D, II.7.8-10]. Celistvé prvky a celistvá rozšíření [D, III.2.2-2.7].
Cvičení: Ideály dané nulami v okruhu polynomů nad tělesem.

   (9.1.) Přednáška: Celistvé uzávěry [D, III.2.11-2.12]. Celistvě uzavřené obory, celistvá báze [D, III.3.1-3.8]. Struktura Dedekindových oborů [D, III.4.2-4],
Cvičení: Písemka


[D] skripta A. Drápala,
[R] prezentace P. Růžičky,
[S] skripta D.Stanovského, Základy algebry, Matfyzpress, Praha 2010.