Komutativní okruhy
Průběh přednášky a cvičení
(2.10.) Přednáška: Základní pojmy teorie komutativních okruhů, jejich základní vlastnosti a příklady (obory, ideály, hlavní ideály) [D,část I.1]., konečná generovanost
ideálů a noetherovskost [D, I.1.4-5].
(7.10.) Přednáška: Aritmetika ideálů, okruhy polynomů, Hilbertova věta o bázi [D, I.2.1].
(9.10.) Přednáška: Prvoideály, maximální ideály a prvočinitelé, popis pomocí těles a oborů [D, I.1.1 - 3].
Cvičení: Prvoideály, maximální ideály v celých číslech a obecných oborech hlavních ideálů.
Netriviální příklady provoideálů v oborech polynomů více neznámých.
(14.10.) Přednáška: Princip lokalizace komutativního oboru v multiplikativní množině, univerzální vlastnost lokalizace a popis
ideálů [D,VI.2].
Cvičení: Lokalizace v celých číslech, struktura svazu ideálů lokalizace celých čísel v prvoideálu.
(16.10.) Přednáška: Gaussovy obory, Gaussovo lemma.
Cvičení: Lokalizace v obecných komutativních okruzích: ekvivalence krácení, přirozený homomorfismus, lokalizace lokálního okruhu (Z9).
(21.10.) Přednáška: Gaussova věta [S, 9.1, 9.2, 9.5-9.8] nebo [D, I.2.4-7]. Faktor
Gaussova oboru podle prvoideálů nemusí být Gaussův (Z[x]/(x2-5) je izomorfní Z[a] pro a2=5).
Okruhy polynomů s libovolně velkou množinou neurčitých.
(23.10.) Přednáška: Každý komutativní okruh je faktorem nějakého Gassova oboru Z[X].
Axiom výběru [SA].
(30.10.) Přednáška: Zornovo lemma a dobré uspořádání [SA].
(4.11.) Přednáška a cvčení: Použití Zornova lemmatu [SA]: existence maximálních ideálů, existence báze vektorového prostoru,
existence a jednoznačnost algebraického uzávěru.
(6.11.) Přednáška: Rozšíření homomorfismů těles do algebraického uzávěru na automorfismy algebraického uzávěru .
Multiplikativní množiny a prvoideály [D,I.3.7-8], odmocnina z ideálu a prvoideály [D, I.3.10-13].
Cvičení: Výpočet odmocnin ideálů v okruzích celých čísel a polynomů jedné neurčité.
(11.11.) Přednáška: Jacobsonův radikál [D I.3.14-15]. Komaximální ideály a Čínská věta o zbytcích [D, I.3.1.- I 3.3].
Cvičení: Výpočet nildradikálu a Jacobsonova radikálu lokálních okruhů a faktorů oborů hlavních ideálů.
(13.11.) Přednáška: Zavedení modulů a podmodulů, jejich základní vlastnosti (zobecnění vlastností známých pro grupy či vektorové prostory).
Cvičení: Výpočet vzorů v Čínské větě o zbytcích.
(18.11.) Přednáška: Součty podmodulů, podmoduly indukované ideály, faktorové moduly, modulové homomorfismy.
Věta o homomorfismu a 1. věta o izomorfismu.
(20.11.) Přednáška: 2. a 3 věta o izomorfismu, konečně generované a Noetherovské moduly [D, I.1.5-6, I.5.1].
Cvičení: cyklické moduly jako faktory okruhu.
(25.11.) Přednáška: Direktní suma modulů, její vnější a vnitřní popis [D, I.4.1], volné moduly a volné báze.
Cvičení: direktní suma je podmodulem kartézského součinu.
(27.11.) Přednáška: Popis volné báze [D, I.4.4], hodnost volného modulu [D, I.4.7],
Cvičení: Volnost modulu R(A) nad okruhem R. Příklady modulů nad celými čísly,
které nejsou volné: konečný, aspoň dvouprvkový Z-modul a Z-modul racionálních čísel Q.
(2.12.) Přednáška: Matice přechodu mezi volnými bázemi volného modulu
konečné hodnosti. Volba volné báze a obsah prvku volného modulu v oboru integrity hlavních ideálů
[D, I.4.9]. Volný faktorový modul [D, I.4.11].
(4.12.) Přednáška: Torzní část modulu, beztorzní moduly [D, I.5.2], direktní rozklad konečně generovaného modulu na torzní
a volnou část [D, I.5.4,-6]. Podmoduly volného modulu konečné hodnosti nad obory hlavních ideálů [D, I.4.10, I.6.2].
Cvičení: Z-modul Q racionálních čísel: beztorzní, uniformní, nekonečně generovaný, není volný.
Torzní část modulu nad oborem integrity,
(9.12.) Přednáška: Hodnost podmodulů [D, I.5.5], Direktní rozklady konečně generovaných modulů nad obory
hlavních ideálů na cyklické moduly s klesající posloupností anihilátorů [D, I.6.3], struktura torzních modulů [D, I.5.3,7]
direktní rozklad konečně generovaného modulu na cyklické p-moduly a volné moduly [D, I.5.11]
(11.12.) Struktura konečně generovaného p-modulu nad obory hlavních ideálů [D, I.5.8].
Cvičení: Direktní rozklady konečně generovaných Z-modulů.
(16.12.) Algebraická rozšíření a algebraické uzávěry těles [D, část II.1].
Stupeň separability a separabilní rozšíření [D, II.2.1 - 4], existence ireducibilních neseparabilních polynomů [D, II.2.7].
(18.12.) Algebraická rozšíření perfektních těles jsou separabilní [D, II.2.8], separabilní rozšíření konečného stupně je jednoduché [D, II.3.1].
Galoisovo rozšíření je právě rozkladové nadtěleso ireducibilního separabilního
polynomu [D, II.3.4], normální rozšíření je právě rozkladové nadtěleso množiny polynomů [D, II.3.5].
Cvičení: Příklady neperfektních těles (Q = podílové těleso oboru polynomů Zp[y] pro p prvočíslo), neseparabilních
ireducibilních polynomů (xp-y v okruhu Q[y] ) a neseparabilních algebraických rozšíření
S=Q[y1/p] nad Q, kde y1/p je (nový) p-násobný kořen polynomu xp-y a
kde [S:Q]=p a [S:Q]s=1.
(6.1.) Přednáška: Galoisova grupa a podtěleso pevných bodů [D, II.3.2, II.3.7-9],
Galoisova korespondence a Hlavní věta Galoisovy teorie [D, II.4.3].
(8.1.) Přednáška:
Norma, stopa, charakteristický polynom, jejich souvislost s minimálním polynomem
[D, II.5.1]. Výpočet a skládání normy a stopy [D, II.5.2-3].
[D] skripta A. Drápala,
[R] prezentace P. Růžičky,
[S] skripta D.Stanovského, Základy algebry, Matfyzpress, Praha 2010.
[SA] Text D.Stanovského o Axiomu výběru