Konečná tělesa
Průběh přednášky:
(1.10.) Základní pojmy teorie komuativních těles: homomorfismy, charakteristika, prvotěleso. Popis prvotěles,
příklady konečných těles, podtělesa konečných těles [BT, Kapitola 1]
(8.10.) Nadtěleso jako vektorový prostor, počet prvků konečného tělesa [BT, 2.1-2].
Polynomy nad konečnými tělesy, minimální polynomy nad prvotělesem dělí x|F|-x, Frobeniův automorfismus
[BT, 2.5-7, 3.9]
(15.10.) Existence a jednoznačnost kořenových a rozkladových nadtěles [BT, 2.3-4], existence a jednoznačnost konečných těles [BT, 2.8].
(22.10.) Struktura podtěles konečných těles, struktura aditivní a multiplikativní grupy konečného tělesa, iredcubilní polynomy
nad konečným tělesem F jako faktory polynomu xu-x pro u=|F|n [BT, 3.1-3.5].
(29.10.) Ireducibilní rozklad polynomu xu-x nad tělesem F pro u=|F|n, určování počtu faktorů,
vztah kořenů ireducibilního polynomu nad kořenovým(=rozkladovým) nadtělesem [BT, 3.6-3.8].
(5.11.) Počítání minimálních polynomů pomocí součinu konjugovanách prvků. Galoisovy grupy
rozšíření konečných těles stupně n jsou cyklické grupy řádu n. [BT, 3.7].
(19.11.) Cyklotomická rozšíření a cyklotomické polynomy. Výpočet a ireducibilní faktory n-tého cykotomického
polynomu, stupeň n-tého cyklotomického rozšíření konečných těles. [BT, 4.1-3].
(26.11.) Výpočet cyklotomických polynomů, součinu všech monických ireducibilních polynomů daného stupně a jejich počtu
pomocí Möbiovy inverzní formule. [BT, část 5].
(3.12.) Popis ideálů okruhů F[x]/( xn-1 ) a F[x]n, souvislost s děliteností.
Zavedení lineárních cyklických kódů. [D, část C].
(10.12.) Lineární cyklické kódy jako ideály okruhu F[x]n. Charakterizace lineárních cyklických kódů
pomocí dělitelů polynomů xn-1, jejich generující a kontrolní matice [D, část C].
(17.12.) LFSR: lineární rekurentní posloupnosti nad konečným tělesem jsou právě skoro periodické posloupnosti, nejmenší perioda,
kořeny charakteristického polynomu a výpočet lineární rekurentní posloupnosti.
[BT] - skripta L.Barta a J. Tůmy,
[D] - skripta A.Drápala o samoopravných kódech,