Konečná tělesa
Průběh přednášky:
(7.10.) Cíle přednášky. 1. Charakterizace a konstrukce konečných těles: základní pojmy: okruh, obor, těleso, homomorfismus.
[BT, Kapitola 1]
(14.10.) Příklady konečných těles. Podtělesa, charakteristika tělesa a popis prvotěles.
Nadtěleso jako vektorový prostor, počet prvků konečného tělesa [BT, 2.1-2].
(21.10.) Frobeniův automorfismus [BT, 2.5-7, 3.9]. Existence a jednoznačnost kořenových a rozkladových nadtěles
[BT, 2.3-4], existence a jednoznačnost konečných těles [BT, 2.8].
(4.11.) 2. Podtělesa konečných těles. Svaz podtěles, struktura aditivní a multiplikativní grupy konečného tělesa,
iredcubilní polynomy nad konečným tělesem F jako faktory polynomu xu-x pro u=|F|n [BT, 3.1-3.6].
(11.11.) 3. Galoisovy grupy konečných těles. Počítání minimálních polynomů pomocí součinu konjugovanách prvků,
korespondence mezi třídami konjugace a ireducibilními polynomy. Příklady tříd konjugace v tělesech F8 a F16 [BT, 3.7-8].
(18.11.) Kořenová nadtělesa ireducibilních polynomů jsou už rozkladová.
Galoisovy grupy rozšíření konečných těles stupně n jsou cyklické grupy řádu n.
Příklady. [BT, 3.9-10].
4.Cyklotomická rozšíření. Příklady cyklotomických rozšíření, grupa kořenů polynomu xn-1 [BT, 4.1].
(25.11.) Výpočet a ireducibilní faktory n-tého cykotomického polynomu, stupeň n-tého cyklotomického rozšíření konečných těles. [BT, 4.2-3].
(2.12.) Velikost n-tého cyklotomického rozšíření. Příklady výpočtu cyklotomických rozšíření a poynomů.
5.Möbiova inverzní formule Vyslovení a důkaz. Použití pro výpočet cyklotomických polynomů. [BT, část 5].
(9.12.) . Použití Möbiovy inverzní formule pro výpočet součinu všech monických ireducibilních polynomů daného stupně a jejich počtu. 6.Lineární cyklické kódy. Popis ideálů okruhů F[x]/( xn-1 ) a F[x]n, souvislost s děliteností. [D, část C].
(16.12.) Lineární cyklické kódy jako ideály okruhu F[x]n. Charakterizace lineárních cyklických kódů
pomocí dělitelů polynomů xn-1, jejich generující a kontrolní matice [D, část C].
(6.1.) 6.Lineární rekurentní posloupnosti. lineární rekurentní posloupnosti nad konečným tělesem jsou právě skoro periodické posloupnosti, nejmenší perioda [Z, 7.1-2].
(13.1.) Kořeny charakteristického polynomu a výpočet homogenní lineární rekurentní posloupnosti. Řád kořenu ireducibilního charakteristického polynomu a perioda. Generující funkce lineární rekurentní posloupnosti [Z, 7.3-8].
[BT] - skripta L.Barta a J. Tůmy,
[D] - skripta A.Drápala o samoopravných kódech,
[Z] - můj text o lineárních rekurentních posloupnostech