Lineární algebra 2

Komentáře ke cvičením z lineární algebry

4.cvičení.
   4.1 - Nezapomeňte, že QR rozklad není nic jiného než záznam všech mezivýsledků standardní Gramovy-Schmidtovy ortogonalizace provedené na sloupce původní matice v aritmetickém vektorovém prostoru se standardním skalárním součinem. Matice Q obsahuje právě nalezenou ON bázi a matice R má na diagonále normy získaných OG vektorů (před normalizací) a ve sloupcích nad ní právě Fourierovy koeficietny OG projekcí.
   4.2 a 4.3 - Při počítání se standardním skalárním aritmetického prostoru lze ortogonální doplňek nějaké posloupnosti vektorů v_i chápat jak množinu všech řešení homogenní soustavy s maticí tvořenou řádky v_i^T (4.3). Úlohy na hledání ortogonální projekce využívající toto pozorování potom vedou na řešení nehomogenních soustav rovnic s Grammovou maticí (4.2)
   4.4 - Při práci s maticemi přechodu mezi ortonormálními bázemi si uvědomte, že je zde snadné spočítat inverz pouhou transpozicí (a "opruhováním" v komplexním případě), protože se jedná o rotogonální OG (unitární v komplexním případě) matice. Nenechte se zmást termínem ortogonální matice, ve skutečnosti vyžadujeme ortonormalitu indukované posloupnosti vektorů.
   4.4 - Hledání přibližného řešení metodou nejmenších čtverců můžeme interpretovat jako nedokončené počítání OG projekce vektoru pravých stran do sloupcového podprostoru matice levých stran, hledáme jen souřadnice (to jsou hledané neznámé) projekce vzhledem k sloupcům matice, nikoli samotnou projekci (úkol je to ovšem v jádru téměř stejný a vede na Grammovu matici jako v 4.2)
5.cvičení.
   Vždy mějte na zřeteli geometrický význam vlastních vektorů: tedy, že jde o směrové vektory přímek, které daný lineární operátor (tj. lineární zobrazení vektorového prostoru do sebe samého) zobrazí do téže přímky. Jednu skupinu vlastních vektorů jsme tedy už zkoumali: (nenulové) vektory jádra lineárního operátoru, které se zobrazí na nulový vektory a leží tak v jakémkoli podprostoru. Ty odpovídají vlastnímu číslu 0. Přímky dané vlastními vektory odpovídající nenulovým vlastním číslům potom lineární operátor zobrazí bijektivně na sebe a vlastní číslo představuje jakýsi "koeficient zkreslení". Je-li rovno 1, pak jde o identické zobrazení přímky na přímku, je-li rovno -1, pak se vektor zobrazí na vektor opačný, je-li vektor -4, pak se vektor zobrazí na opačný "čtyřnásobný" vektor (nad tělesem reálných čísel můžeme mluvit o čtyřnásobné velikosti) apod.
   5.1 - Jak jsme zvyklí, úlohu z formulace v jazyce zobrazení převedeme na maticovou úlohu, pro níž máme odvozené nástroje řešení. Hledání vlastního vektoru pro známé vlastní číslo se velmi snadno přeformuluje na úlohu řešení homogenní soustavy rovnic. Zásadní novinkou je, že pro nalezení vlastního čísla sice můžeme využít fakt z teorie determinantů (tedy, že soustava z čtvercovou maticí má netriviální řešení, právě když má nulový determinant), ale hledání vlastního čísla potom znamená hledání kořenu polynomu, což je obecně obtéžná úloha. V daném případě ovšem řešíme pouze kvadratické polynomy (a v prvním případě jsou kořeny vidět bez výpočtu!).
   5.2 - I tentokrát převedení úlohy pomocí zvolené báze do maticového tvaru vede na řešení kvadratických rovnic stupně dva. Zatímco vlastní čísla na zvolené bázi nezáleží, nesmíme zapomenout na to, že nalezené vlastní vektory matice zobrazení f tvoří souřadnice hledaného řešení (tj. vlastních vektorů operátoru f) vzhledem ke zvolené bázi. Pozor, aby vše fungovali, je třeba pracovat se stejnou bazí na "obou stranách" lineárního zobrazení f!
   5.3 - U této geometrické úlohy je samozřejmě ideálním řešením právě výše uvedený geometrický pohled, tedy úvaha, že přímky ležící v rovině projekce projekce zachová (a určují je tedy vlastní vektory), vektory kolmé k této rovině vynuluje (tedy leží v jádru a rovněž jsou určeny vlastními vektory) a ostatní přímky překlopí do roviny (a tedy vlastní vektory neurčují).
   5.4 - Maticově fromulovaná úloha znamená, že pracujeme rovnou s maticemi a není třeba nic překládat. I v tomto případě ovšem apeluji, abychom na geometrický význam pojmů nezapomínali (přinejmenším proto, že mohou občas usnadnit výpočet). U kubického charakteristického polynomu lze v naší úloze efektivním výpočtem zajistit okamžité nalezení jednoho kořene.
   5.5 - Při počítaní s konečným tělesem je obvykle nejjednodušší způsob hledání kořene polynomu zkusmé dosazení všech možností (kořen nula znamená nulový absolutní člen, tedy opravdu počítat musíme pro čtyři možnosti nenulových vlastních čísel). Hledání vlastních vektorů už se ničím od předchozích úloh neliší...
   5.7 - Nezapomínejte, že počítání vlastních čísel horních nebo dolních trojúhelníkových matic (které se vyskytnou v úlohách (b) a (c)) je velmi snadné: stačí sepsat hodnoty na diagonále.
6.cvičení.
   Rozhodnout, zda jsou lineární operátory nebo matice diagonalizovatelné, znamená zjistit, zda máme "dost" vlastních vektorů na to, abychom z nich vybrali bázi odpovídajího vektorového prostoru. Protože víme, že posloupnost vektorů příslušných různým vlastním číslům je lineárně nezávislá, stačí nám při ověřování diagonalizovatelnosti občas ukázat, že máme "dost" vlastních čísel, tedy tolik, kolik je dimenze prostoru, na němž uvažujeme operátor, nebo stupeň matice.
   6.1 - U matic 2x2 si můžeme navíc všimnout, že diagonalizovatelné matice s jediným vlastním číslem (algebraické násobnosti 2) už jsou nutně diagonální. Nediagonální diagonalizovatelné matice tak musí mít dvě různá vlastní čísla.
   6.2 - Uvědomme si, že inverzní operátor má nutně stejné vlastní vektory příslušné vzájemně inverzním vlastním číslům.
   6.3 - Platnost obdobného pozorování si v úloze můžeme uvědomit i pro (kladné) mocniny diagonálních matic: tedy že n-tá mocnina vlastního čísla je vlastním číslem n-té mocnininy matice.
   6.4 - Hledání regulárních matic P zprostředkujících podobnost diagonalizovatelné matice s diagonální maticí je ve skutečnosti úlohou nalezení báze složené z vlastních vektorů. Hledaná matice P je jenom maticí přechodu od báze složené z vlastních vektorů ke kanonické bázi (a tu získáme snadno umístěním vlastních vektorů do sloupců matice).
   6.6 - Otázku diagonalizovatelnosti lineárního operátoru umíme řešit, známe-li matici operátoru vzhledem k jedné bázi, takovou matici ovšem umíme při jakémkoli zadání najít.
   6.7 - Nezapoeňte, že počítáme vzhledem k bázi B (tedy ne kanonické bázi).
7.cvičení.
   Protože je mocnění diagonálních matice velmi snadné (jde jen o to umocnit hodnoty na diagonále), umožňují dagonalizovatelné opáratory a matice efektivní výpoočet jejich mocnin. Klíčem je nalezení báze složené z vlastních vektorů (přepadně matice zprostředkující podobnost původní a digonální matice, kterou dostaneme jako matici přechodu od báze složené z vlastních vektorů ke kanonické bázi) a převedení úlohy "do souřadnic" vzhledem k této bázi.
   7.1 - Najdeme bázi složenou z vlastních vektorů, vůči níž má operátor diagonální matici (a na diagonále jsou právě vlastním vektorům odpovídající vlastní čísla), a poté úlohu spočítáme s maticí vzhledem k této bázi a nakonec najdeme standardním postupem najdeme matici vzhledem k bázi kanonické.
   7.2 - Pracujeme-li s lineárním operátorem daným násobení maticí, můžeme úlohu vyřešit stejným postupem jako v 7.1.
   7.3 - Řešíme obdobnou úlohu jako v 7.2, ovšem zajímá nás nikoli mocnina (která odpovídá mocnine operátoru), nýbrž výsledek součinu této mocniny a vektoru pořátečních podmínek (což odpovídá vyčíslení hodnoty mocniny operátoru na tomto vektoru). Vzhledem k tomu, že součin inverzní matice a jednoho vektoru je snazší úloha než než nalezení inverzní matice (znamená řešení jedné nehomogenní soustavy), je příklad vlastně podúlohou úloh typu 7.2.
   7.4 - Nejprve popíšem posloupnost pomocí diskrétního lineárního dynamického systému a pak úlohu vyřešíme postupem předchozího příkladu.
8.cvičení.
   Úloha nalezení Jordanova kanonického tvaru (JKT) je zobecněním diagonalizace, je-li matice diagonalizovatelná, je jejím Jordanovým kanonickým tvarem právě diagonální tvar matice (Jordanovy boňky jsou v takovém případě matice 1x1). Něco nového musíme dělat ve chvíli, kdy zjistíme, že z množiny vlastních vektorů nelze vybrat bázi vektorového prostoru na němž lineární operátor definovaný maticí působí. To nové je výpošet Jordanových řetízků, jimiž doplníme lineárně nezávislou posloupnost vlastních vektorů na bázi. Vůčí této bázi už samozřejmě matice lineární operátoru definovaného maticí není diagonální (je to onen JKT), ale je pořád dost hezká na to, abychom ho mohli využívat podobně, jako jsme využívali diagonální tvar, tedy především pro počítání mocnin matic a diskrétních dynamických systémů.
Konečně poznamenejme, že zatímco hledání vlastních vektorů znamená počítání řešení homogení soustavy rovnic s maticí, kde jsme na diagonále odečetli vlastní číslo, pak hledání vektorů řetízku znamená řešení nehomogenní soustavy s toutéž maticí levých stran, kde za vektor pravých stran nejprve dosadíme vlastní vektor a pak postupně dosazujeme předchozí vektor řetízku. Obecně může nastat problém s volbou vlastního vektoru na začátek, kterého si v malých dimenzích nemusíme nejprve všimnou.
   8.1 - U této úlohy si především rozmyslíme různě formulované otázky vedoucí k výpočtu JKT. Samotný výpočet JKT u matice 2x2, nemůže přinést žádný problém (mino početních chyb): poté, co zjistíme, že matiec není diagonalizovatelné , je jasné, že bude sestávat z jediné Jordanovy buňky, řetízek bude obsahovat jen dva vektory a jediná nehomogení soustava, kterou tak počítáme bude mít řešení pro jakoukoli volbu vlastního vektoru.
   8.2 - Zde řešíme principielně stejnou úlohu jako v 8.1 ovšem zformulavanou ryze maticově. Při určování JKT matice inverzní a transponované si uvědomíme, že ani tyto matice nejsou diagonalizovatelné a charakteristický polynomy snadno určíme z charakteristických polynomů původní matice.
   8.3 - Nalezení JKT je obdobné jako v 8.1 a 8.2, u matic 3x3 už se problém s volbou pravých stran při řetízku objevit může (ale jak si rozmyslíme zde se ještě neobjeví). Úlohy na počítání mocniny matice a operátoru se řeší stejně jako u diagonalizovatelných matic, až na to, že tentokrát musíme mocnin (blokově diagonální) Jordanovy matice, tedy fakticky potřebujeme umět mocnit jen Jordanovy buňky. Pokud známe binomickou větu nebude nám jistě mocnění Jordanových buněk činit potíže.
   8.4 - Abychom se do úlohy nezamotali, máme zde prozrazená charakteristický polynom (spočítat bychom ho uměli, ale možná bychom měli trochu potíže při hledání jeho kořenů). Tentokrát nám výpočet Jordanova řetízku při nesprávně volbě vektoru pravých stran soustavy může selhat, dobře si rozmyslete, jak úlohy řešit (viz také domácí úkol).
   8.5 - Zde máme de facto prozrazeny rozměry jednotlivých Jordanových buněk.
   8.6 - V úloze si je třeba uvědomit, jak mocnit JKT.
   8.7, 8.8 - Obdoba úloh 8.3 a 8.4
   8.9 - Najdeme-li kořeny nad konečným tělesem (což je snadné zkusmo), pak můžeme najít JKT standardním způsobem.
9.cvičení.
   Řešení diskrétních lineárních dynamických systému s maticemi, které nejsou diagonalizovatelné, funguje zcela stejně jako v případě s diagonalizovatelnými matice, kterými jsme se zabývali na 7. cvičení. I tentokrát úlohy převedeme pomocí vhodné matice přechodu na úlohu mocnění matice speciálního tvaru. Místo s diagonální maticí tedy pracujeme s Jordanovým tvarem, počítání s ním je sice poněkdu obtížnější než počítání s diagonální maticí (mocněním takové matice se rozšíří nenulové hodnoty nad diagonálu), její výpočet je ovšem snadno zapamatovatelný (řádky obsahují postupně posouvané členy binomického rozvoje mocniny (lambda + 1)ⁿ). Matice přechodu s níž tentokrát pracujeme, je maticí přechodu od báze složené z Jordanových řetízků ke kanonické bázi.
   K podobnému posunu dochází i v případě řešení obecných spojitých lineárních dynamických systémů, kde si stačí obecně všimnout, jaké funkce jsou řešením spojitých lineárních dynamických systémů pro Jordanovu matici a "překlad" řešení nad obecnou matcí s daným JKT už probíhá zcela stejně jako v diagonalizovatelné situaci
   9.1 - Zde si rozmyslíme, že je zobrazení tvaru f_A pro nediagonalizovatelnou matici A, najdeme tedy jediný Jordanův řetízek délky 2, z nějž sestavíme matici přechodu P. Úlohu poté řešíme mocněním JKT matice A a maticemi přechodu P a P^-1 stejně jako v úlohách série 7.
   9.2 - Tentokrát zjistíme, že matice tohoto diskrétních lineárního dynamického systému má dvě ryze komplexní vlastní čísla a pro každé jednu Jordanovu buňku stupně 2. Tento výpočet nám usnadní pozorování, že je matice blokově trojúhelníková, vlastní čísla každého bloku tedy můžeme hledat zvlášť a tato vlastní čísla budou právě vlastní čísla celé blokově trojúhelníkové matice. Úlohu musíme řešit nad komplexními čísly, ačkoli výsledek je zcela jistě reálný. Po převedení úlohy nad větší těleso už příklad řešíme standardně: najdeme dva Jordanova řetízky, která nám dají matici přechodu, komplexní Jordanovu matici J umocníme na obecné n a spočítáme součin x_n = PJⁿP^-1x₀.
   9.3 - Úloha je obdobou příkladu 7.4 s diagonalizovatelnou maticí. Nejprve tedy stejně jako tam najdeme dynamický systém, který nám úlohu popisuje (uvědomíme si, že umíme vyjádřit trojici (a_n+3), a_n+2, a_n+1)^T maticovým násobením vektoru (a_n+2, a_n+1,a_n)^T a pak už úlohu řešíme postupem úloh 9.1 a 9.2.
   9.4 - Nejprve si v příkladu (a) připomeneme základní tvar řešení spojitých lineárních dynamických systémů s Jordanovu maticí a v příkladu (b) si vyzkoušíme, že převedení tohoto řešení do obecné situaci pomocí matice přechodu a vektoru počátečních podmínek probíha stejně jako v diagonalizovatelném případě (tedy jako v obdobné úloze 7.5).
   9.5 - Postupujeme jako v 9.1.
   9.6 - Zde pracujeme s maticí s trojnásobným vlastním číslem 0 s charakteristickým polynomem -x³, z Cayleyovy-Hamiltonovy věty okamžitě plyne, že je třetí mocnina této matice nulová. Na to, že druhá mocnina nulová není si stačí rozmyslet jak vypadá JKT.
   9.7 - Stačí zkombinovat údaje výpočtu příkladu 9.3 (tedy JKT, matice přechodu P i součinu inverzu P a vektoru počátečních podmínek) a znalosti obecného řešení spojitých lineárních dynamických systémů z úlohy 9.4.
   9.8 - Situaci, kdy je JKT reálné matice matice ryze komplexní jsme se vyhnuli především proto, že jste se s analýzou v komplexním oboru ještě neseznámili. Kdo ví něco aspoň o kompexní exponenciále, zjistí, že vše funguje i v tomto případě.