Úvod do teorie grup
Průběh přednášky
(7.10.)
0.Struktura a předpoklady přednášky. Předpoklady: znalost pojmů grupy, podgrupy, homomorfismu, izomorfismu, řád grupy a prvku, struktura cyklických grup, permutační grupy [S, část III].
1.Operátorové grupy. Omega-grupa a Omega-homomorfismus [D, 1.1-1.6].
Omega-invariantní podgrupy, charakteristické a úplně charakteristické podgrupy.
(14.10.)
Tranzitivita vlastnosti být (úplně) charakteristickou podgrupou, centrum grupy
a grupa vnitřních automorfismů [D, 3.3-3.5].
Ekvivalence dané podgrupou [D, 1.8, 1.9] a faktorizace Omega-grup [D, 1.11].
(21.10.)
Jádro Omega-homomorfismu [D, 1.10], věta o homomorfismu a věty o izomorfismu pro Omega-grupy [D, 1.12-23].
2.Kompoziční řady. Modulární vlastnost Omega-grup [D, 2.1].
(4.11.)
Zassenhausovo lemma [D, 2.3], Omega-jednoduché grupy, subnormální a kompoziční řady, izomorfní zjemnění dvou Omega-subnormálních řad [D, 2.4],
jednoznačnost kompoziční řady: Jordan Hölderova věta [D, 2.5].
(11.11.)
3.Řešitelné a nilpotentní grupy.
Normalizátor a centralizátor grupy [D, 3.1-2].
Horní centrální řada a nilpotentní podgrupy [D, 3.6-7],
Komutátor, komutant, derivivaná řada grupy a řešitelné grupy [D, 3.14-15].
(18.11.)
Charakterizace řešitelnosti pomocí subnormálních řad, nilpotentní grupy jsou řešitelné [D, 3.16, 18]. Podgrupy a faktorové grupy nilpotentních a řešitelných grup [D, 3.8-9, 3.17]. Působení grupy na množině [D, 7.1-4], centralizátor prvku je stabilizátor akce konjugace, grupa řádu pn je nilpotentní [D, 3.10-13].
(25.11.)
4.Součiny grup.
Direktní součin grup, vnitřní charakterizace direktního součinu [D, 4.1-3].
Semidirektní součin a jeho vnitřní charakterizace [D, 4.4-4.5].
(2.12.)
Volný součin grup, redukované prvky, univerzální vlastnost volného součinu grup [D, 11.3-4, zobecnění 10.3], volná grupa a volná báze [D, 10.1-10.2].
(9.12.)
Volné grupy jsou právě volné součiny nekonečných cyklických grup
[D, 10.3].
5.Sylowovy podgrupy.
Působení podgrupy na množině konjugovaných podgrup [D, 7.6-7],
normalizátor vlastní podgrupy nilpotentní grupy [D, 9.8], Cachyho věta
[D, 8.1], konečné p-grupy a Sylowovy p-podgrupy. Formulace Sylowových vět.
(16.12.)
Důkaz Sylowových vět [D, 8.2-5].
Charakterizace nilpotentních grup pomocí Sylowových podgrup
[D, 9.10-12].
(6.1.) 6. Volné grupy.
Konstrukce množiny generátorů podgrupy pomocí transversály [D, 10.8-10], podgrupa konečného indexu konečně generované grupy je konečně generovaná [D, 10.11]. Schreierova transversála [D, 10.12], každá podgrupa volné grupy je volná [D, 10.6-7, 10.13-14].
[D] Aleš Drápal: Teorie grup : základní aspekty, Karolinum, Praha, 2000
[S] David Stanovský, Základy algebry, Matfyzpress, Praha 2010.