Křivky a funkční tělesa


Průběh přednášky

  1. týden:
       (2.3.) 0.Motivace. Křivky v tělese kladné charakteristiky: překlad geometrické teorie do jazyka algebry. 1.Algebry nad tělesem. K-algebry jako vektorové prostory. modularita.
       (4.3.) Duble factorizing lemma, structura duálních prostorů pro rozšíření těles, lineární nezávislost nad polynomiálním okruhem.
  2. týden:
       (9.3.) 2.Algebraická funkční tělesa. Součiny podokruhů a ideálů. báze algebraického rozšíření těles tvoří i bázi příslušných těles racionálních lomených funkcí, příklad a konstrukce algebraických funkčních těles, těleso konstant AFF nad K je rozšíření K konečného stupně, charakterizace AFF.
       (11.3.) 3. Valoační okruhy. Lokální okruhy, Nakayamovo lemma, lokální noetherovské obory s hlavním maximálním ideálem jsou uniseriální, Valoační obory tělesa jsou právě maximální podokruhy.
  3. týden:
       (16.3.) 4. Diskrétní valuační okruhy. Prvoideály oboru K[x,y]. Diskrétní valuace, diskrétní valoační okruhy jsou právě lokální noetherovské obory s hlavním maximálním ideálem.
       (18.3.) Diskrétní valuační okruhy a uniformizační prvky. Diskrétní valuace a valuační okruhy algebraická funkčních těles. Popis normalizovaných diskrétních valuací.
  4. týden:
       (23.3.) Místa algebraických funkčních těles. Jednoznačnost valuačního kruhu AFF a normalizované diskrétní valuace určené místy.
       (25.3.) 5. Weierstrassovy rovnice. Grupy afinních zobrazení a afinních automorfismů. Weierstrassovy polynomy (WEP), jejich transformace na krátké WEP pomocí vhodných afinních automorfismů.
  5. týden:
       (30.3.) 6. Singularity. Hladké a singulární body. Tečny, popis tečen pomocí lineární části polynomu. Hladkost je invariant K-ekvivalence. WEP tvaru y2-f(x) nad tělesem charakteristiky různé od 2 je hladký, právě když je f(x) separabilní.
       (1.4.) 7. Souřadnicový okruh. Maximální ideály polynomiálního okruhu, prvoideály oboru K[x,y] and rovinné křivky. Coordinate rings and function fields of curves.
  6. týden:
       (6.4.) Souřadnicový okruh a fuknční těleso rovinné křivky. Funkční těleso křivky jako algebraické funkční těleso. Každý WEP je absolutně ireducibilní.
       (8.4.) Algebraické funkční tělesa daná absolutně ireducibilním polynomem mají triviální těleso konstant. 8. Místa určená dvojicí. multiplicita, vážená multiplicita a m-sokly.
  7. týden:
       (13.4.) Existence a jednoznačnost normalizované diskrétní valuace s pozitivní hodnotou na určující dvojici prvků AFF.
       (15.4.) Afinní transformace polynomu určujícího AFF. Existence a jednoznačnost místa určeného hladkým bodem polynomu, odpovídající valuace a tečny.
  8. týden:
       (20.4.) Výpočet valuace prvku AFF daného přímkou procházející racionálním bodem polynomu.
       (22.4.) 9. Lokalizace v souřadnicovém okruhu. Popis lokalizace souřadnicového okruhu v bodě křivky a jeho vztah k místům. Lokalizace v singularitě není valuační obor.
  9. týden:
       (27.4.) Místa jsou právě maximální ideály lokalizací v hladkých bodech. Podalgebra K[u,v] a místa AFF.
       (29.4.) Popis pozitivních míst stupně 1, charakterizace míst stupně jedna nad WEP. 10. Slabá aproximační věta a její důsledky. Slabá aproximační věta. Množina míst je nekonečná.
  10. týden:
       (4.5.) Odhad [L:K(s)] pomocí valuací hodnoty s. Místo "v nekonečnu" WEP hladkého v racionálních bodech. Popis míst stupně jedna pro WEP.
       (6.5.) 11. Divizory. Hlavní divizory. Stupeň divizorů jako grupový homomorfismus. Popis nulových hlavních divizorů. Třídová grupa a Riemannovy-Rochovy prostory, souvislost dimenze Riemannova-Rochova prostoru a stupně divizoru.
  11. týden:
       (11.5.) Stupeň pozitivní a negativní části hlavního divizoru. Výpočet hlavního divizoru a některých Riemannových-Rochových prostorů.
       (13.5.) Riemannova věta p jem rodu AFF. Index specialty, adele, výpočet indexu pomocí adele.
  12. týden:
       (18.5.) Silná aproximační věta. 12. Weilovy diferenciály. Prostor Weilových diferenciálů a kanonické divizory. Weilovy diferenciály jako vektorové prostory.
       (20.5.) Prostor všech Weilovy diferenciálů má nad AFF L dimenzi 1 a dimenze prostoru Weilovy diferenciálů daných divizorem A se rovná dimenzi l(W-A) pro kanonický divizor W. Riemannova-Rochova věta její hlavní důsledek. Popis hlavních a kononických divizorů nad AFF rodu 0 a 1.
  13. týden:
       (25.5.) 13. Eliptické funkční těleso. Odhad hodnoty rodu. AFF rodu 0 a 1, rod AFF daných Weirestrassovou rovností.
       (27.5.) AFF dané weierstrassovým polynomem w je eliptické, právě když je w hladký. 14. Asociativní zákon. Struktura Picardovy grupy na místech stupně 1.
  14. týden:
       (1.6.) Přenos struktury Picardovy groupy na body eliptické křivky (tj. dané hladkým WEP). Pravidla počítaní na eliptické křivce.
       (3.6.) 15. Projektivní křivky. Překlad konceptu AFF z afinní situace na projektivní.