Úvod do teorie grup
Průběh přednášky
(29.9.)
1. Začínáme pěstovat grupy. Předpoklady: Znalost pojmů grupy, podgrupy, normální podgrupy, homomorfismu, izomorfismu, řád grupy a prvku, struktura cyklických grup. Permutační grupy a Cayleyho věta.
Ekvivalence dané podgrupou a Lagrangeova věta [S, část III], [D, 1.8, 1.9] .
(6.10.)
2. Faktorizovat či nefaktorizovat?
Faktorizace grup [D, 1.11], reprezentace jednoduchých podgrup pomocí podgrupy konečného indexu.
Věta o homomorfismu a věty o izomorfismu [D, 1.12-23]. Centrum grupy a grupa vnitřních automorfismů [D, 3.4-3.5].
(13.10.)
3. Cesta do středu grupy.
Geometrické grupy: afinní bijekce, eukleidovská grupa, ortogonální grupa. Dihedrální grupa je konečná podgrupa O(n, R) generovaná rotací a osovou symetrií.
Charakteristické a úplně charakteristické podgrupy., tranzitivita vlastnosti být (úplně) charakteristickou podgrupou, centrum grupy je charakteristická podgrupa
[D, 3.3]. Působení grupy na množině [SG 5.1-3 nebo D, 7.1-4], Cachyho věta [SG 5.5 nebo D, 8.1].
Centralizátor prvku je stabilizátor akce konjugace, konečná p-grupa má netriviální centrum [D, 3.10-13].
(20.10.)
4.Skládáme grupu: direktní a semidirektní součin.
Direktní součin grup, vnitřní charakterizace direktního součinu, direktní rozklad [D, 4.1-3]. Komutátor, komutant je úplně charakteristická podgrupa.
Semidirektní součin a jeho vnitřní charakterizace, semidirektní rozklad [D, 4.4-4.5].
(27.10.)
5.Do řady! Po podgrupách nahoru a zase dolů.
Derivivaná řada grupy a řešitelné grupy [D, 3.14-15 nebo SG, část 6.3], semidirektní součin řešitelných grup je řešitelná grupa.
Horní centrální řada a nilpotentní podgrupy, každá nilpotentní grupa je řešitelná [D, 3.6-7].
(3.11.)
6.Sylowovy podgrupy - kladivo na konečné grupy.
Působení podgrupy na množině konjugovaných podgrup [D, 7.6-7],
normalizátor vlastní podgrupy nilpotentní grupy [D, 9.8], , konečné p-grupy a Sylowovy p-podgrupy. Formulace a důkaz Sylowových vět [D, 8.2-5].
(10.11.)
7. Nilpotentní grupy - příběh lásky mezi p-grupami.
Podgrupy, faktory a direktní součiny nilpotentních grup [D, 3.8-9, 3.17].
Charakterizace nilpotentních grup pomocí Sylowových podgrup
[D, 9.10-12].
(24.11.)
8. Hledá se p-grupa.
Grupa řádu pq pro různá prvočísla je buď cyklická nebo semidirektní součin
dvou cyklických [M, 5.14, Ex.4.5]. Struktura konečných abelovských p-grup.
[D, 5.11].
(1.12.)
9. Cyklické grupy celého světa, spojte se!
Struktura konečných abelovských grup [D, 5.10-11].
Volné abelovské grupy [D, 5.5], Konečně generovaná abelovská grupa
je volná (jen formulace) [D, 5.6], Konečně geberaovaná abelovská grupa
je direktním součinem cyklických grup [D, 5.8-9, 5.13].
(8.12.)
10.Kompoziční řady - jedinečnost až na pořadí.
Modulární vlastnost grup [D, 2.1], Zassenhausovo lemma [D, 2.3]. Kompoziční řady, izomorfní zjemnění dvou subnormálních řad [D, 2.4],
jednoznačnost kompoziční řady: Jordan Hölderova věta [D, 2.5].
(15.12.) 11.Volnost součinů, rovnost homomorfismů, bratrství prezentací.
Volný součin grup, redukované prvky, univerzální vlastnost volného součinu grup [D, 11.3-4, zobecnění 10.3], volná grupa a volná báze [D, 10.1-10.2].
Volné grupy jsou právě volné součiny nekonečných cyklických grup
[D, 10.3], prezentace grupy [D, 11.1-2].
(22.12.) 12. Schreierova transversála - matka volných podgrup.
Konstrukce množiny generátorů podgrupy pomocí transversály [D, 10.8-10], podgrupa konečného indexu konečně generované grupy je konečně generovaná [D, 10.11]. Schreierova transversála [D, 10.12], každá podgrupa volné grupy je volná [D, 10.6-7, 10.13-14].
[D] Aleš Drápal: Teorie grup : základní aspekty, Karolinum, Praha, 2000
[M] J.S. Milne: Group Theory,
https://www.jmilne.org/math/CourseNotes/GT.pdf
[S] David Stanovský: Základy algebry, Matfyzpress, Praha 2010.
[SG] David Stanovský: Text o grupách, https://www2.karlin.mff.cuni.cz/~stovicek/dl/19-20-ls/alg_grupy.pdf