Teorie čísel


Průběh přednášky

   (19.2.) 0. Motivace kurzu. Teorie čísel jako zdroj moderní algebry, algoritmickí motivace výběru témat. 1. Počet prvočísel (aneb lehký úvod do analytické teorie čísel). Formulace Prvočíselné věty a Dirichletovy věty o aritmetické posloupnosti. Theta funkce a důkaz horního odhadu počtu prvočísel. [VK, 1.1-5].

   (26.2.) Valuace prvočísla a její vlastnosti. Dolní odhad počtu prvočísel, důkaz Bertrandova postulátu. [VK, 1.6-8].

   (4.3.) 2. Pellova rovnice. Struktura grupy řešení Pellovy rovnice, důkaz existence netriviálního řešení. [VK, 2.1-3].

   (11.3.) 3. Řetězové zlomky. Řetězové zlomky a sblížené zlomky, popis sblížených zlomků pomocí řetězových polynomů [VK, 2.4-8]. Posléze periodické řetězové zlomky jako kořeny kvadratických polynomů [VK, 2.13].

   (18.3.) Iracionální číslo jako limita sblížených zlomků [VK, 2.9]. Dobré aproximace jsou právě sblížené zlomky [VK, 2.10-11], hledání řešení Pellovy rovnice pomocí sblížených zlomků [VK, 2.12, 2.14].

   (25.3.) 4. Gaussova celá čísla. Popis prvočinitelů oboru Gaussových celých čísel a hledání ireducibilních faktorů. [VK, 3.1-3]. 5. Cyklotomické polynomy. Primitivní n-té odmocniny v komplexních číslech. Definice n-tého cyklotomického polynomu, ireducibilita p-tého cyklotomického polynomu pro p prvočíslo [VK, 3.4].

   (8.4.) Cyklotomické polynomy jsou ireducibilní celočíselné [VK, 3.5, 3.9-10]. 6. Kvadratické zbytky. Legendreův symbol, popis kvadratických zbytků a nezbytků modulo liché prvočíslo pomocí kongruencí, kvadratický zbytek čísla -1 [VK, 4.1-3].

   (15.4.) Důkaz tvrzení 4.1, výpočet Lendreova symbolu pro hodnotu 2 [VK, 4.1, 4.4]. 7. Charaktery. Základní vlastnosti a příklady charkterů, struktura grupy charakterů, konstrukce izimorfismu mezi grupou charkterů modulo prvočíslo p a multiplikativní grupou modulo p. [VK, 4.5,6].

   (22.4.) Součty hodnot charakterů, Gaussovy součty a Gaussovy kvadratické součty, výpočet čtverce Gaussova kvadratického součtu modulo prvočíslo. Cyklotomický okruh generovaný primitivní p-tou odmocninou z 1, počítání modulo hlavní ideál v tomto okruhu, formulace tvrzení o kvadratické reciprocitě [VK, 4.7-4.11].

   (29.4.) Důkaz kvadratické reciprocity, Jacobiho symboly a pravidla pro jejich výpočet. Počet prvočinitelů v oboru Z[V(-2)] [VK, 4.12-4.16].

   (6.5.) 8.Testy prvočíselnosti. Fermatův test a Carmichaelova čísla. Pravděpodobnostní testy prvočíselnosti: Solovayův-Strassenův, Rabin-Millerův, oba testy fungují správně na prvočíslech. prvky řádu pe-1 v multiplikativní grupě Zpe* [VK, 5.7, 5.2-3].


[VK] Skripta Víti Kaly.