(úterý 21.3. 15:40 v seminární místnosti KPMS)
ABSTRAKT:
Uvažujme \(A\) matici \(n \times n\), jejíž prvky jsou \(X_{ij}\) iid n.v. se známými \(\mu_p = \mathbb{E}[X_{ij}^p] \). Zajímáme se o \(m\)-té momenty náhodné veličiny \(\det A\), čili o čísla \(\mathbb{E}[\det^m A]\) (navíc jen sudé, liché jsou nulové díky antisymetrii). Překvapivě, pro \(m = 2\) plyne z Cauchy-Binetovy formule obecný vzorec \[\mathbb{E}[{\det}^2 A] = n! (\mu_2 – \mu_1^2)^{n-1} (\mu_2 + \mu_1^2 (n–1)).\] Nalezení podobného vzorce pro čtvrté a vyšší momenty je však o mnoho složitější problém, Cauchy-Binetova formule se zde bohužel nedá zobecnit. Jediný známý výsledek existoval pro čtvrtý moment, a to navíc pouze, uvažujeme-li \(X_{ij}\) symetrické (Nyquist 1954). Nyquistův důkaz se opírá o zcela jiný koncept, a to rekurenci v tzv. permutatačních tabulkách.
V této přednášce odvodíme známý vzorec pro druhý moment, a to oběma metodami. Rovněž nastíníme i Nyquistův důkaz čtvrtého momentu s předpokladem symetrických \(X_{ij}\). Samozřejmostí bude krátké připomenutí základních vlastností náhodných proměnných, determinantů a permutací.
Addendum: Teprve nedávno (červen 2022) byly získány dva nové výsledky. Šestý moment pro symetrická rozdělení (Lv & Potechin 2022), který byl odvozen pomocí techniky Nyquistových permutačních tabulek použité při odvození čtvrtého momentu pro symetrická rozdělení. A čtvrtý moment pro obecná rozdělení (B., 2022), který je dalším zobecněním Nyquistova vzorce pro čtvrtý moment. Důkaz je však poněkud odlišný a bylo možné jej provést pomocí nepříliš známého vzorce z oblasti lineární algebry, který se ukázal jako klíčový.
V srpnu 2022 se poté podařilo najít zobecnění čtvrtého momentu i pro nečtvercové matice (střední hodnota kvadrátu náhodného Gramiánu). Ukázalo se totiž, že Cauchy-Binetovu formuli lze přenést do čtvrthého momentu.
REFERENCE: