Vývoj kvantového systému

Vývojem (evolucí) kvantového systému máme na mysli jeho změnu s časem. Nyní je důležité připomenout, že právě zde je zásadní rozdíl mezi pozorovaným a nepozorovaným systémem. V případě, že jej nepozorujeme, podléhá stavový vektor spojitému vývoji, který jednoznačně popisuje s tímto systémem související Schrödingerova vlnová rovnice:

$$i\ \hbar \frac{\partial \Psi (t)}{\partial t} = \biggl(-\frac{\hbar^2}{2m} \Delta + V(t)\biggr)\Psi(t).$$

Abychom však mohli kvantový systém matematicky ovlivňovat, je zapotřebí definovat vhodné operátory. V kvantové mechanice jsou však dovoleny pouze některé způsoby vývoje systému. Jmenovitě jde o takové vývoje, z jejichž výsledků (výstupů) se dají jedinečně odvodit předchozí stavy (vstupy). To je podmínka tzv. reverzibility vývoje kvantového stavu, která plyne z deterministické povahy Schrödingerovy rovnice. Taková reverzibilita je však matematicky možná jen pokud jsou operátory čtvercové unitární matice, tj. pokud o takových maticích platí, že $\textbf{\textit{U}} \textbf{\textit{U}}^{\dagger} = \textbf{\textit{1}}$. Pokud jsou stavové vektory normalizovány a jsou to tedy body v kouli o poloměru 1, pak unitární kvantový vývoj s těmito body rotuje. Jestliže provedeme následující úpravy

$$\vert\Psi(t)\rangle = \Psi (t) \hskip 1cm \mathrm{a} \hskip 1cm \textbf{\textit{H}}(t) = -\frac{\hbar^2}{2m} \Delta + V(t),$$

lze Schrödingerovu vlnovou rovnici přepsat na

$$i\ \hbar \frac{\partial \vert\Psi(t)\rangle}{\partial t} = \textbf{\textit{H}}(t)\ \vert\Psi(t)\rangle,$$

kde $\textbf{\textit{H}}(t)$ je Hamiltonián. Jak je vidět i z výše uvedené substituce, je Hamiltonián úzce spjat s energií systému a jeho podoba je odvozena od fyzického uspořádání částic nebo molekul, z nichž se systém skládá (mohou ho charakterizovat například veličiny jako síla el.pole nebo směr molekulového dipólového momentu). Hamiltonián se skládá z vektorů vlastních stavů a tvoří bázi v Hilbertově prostoru. Obecně by mohly mít vlastní stavy komplexní vlastní hodnoty, ale protože je Hamiltonián Hermitová matice (tj. $\textbf{\textit{H}} = \textbf{\textit{H}}^{\dagger}$), mají vlastní stavy garantovány reálné vlastní hodnoty, které korespondují možným výsledkům měření nějaké fyzikální veličiny. V Hamiltoniánu jsou, kromě informací o vlastních stavech, obsaženy informace o všech operacích, které během výpočtu použijeme. Jestliže uvažujeme Hamiltonián, který není závislý na čase, tzn. takový, který se po dobu vývoje systému nemění a paměťový registr je na počátku ve stavu $\vert\Psi(0)\rangle$, má vlnová rovnice řešení

$$\vert\Psi(t)\rangle = e^{-i \textbf{\textit{\scriptsize H}} ... ...rt\Psi(0)\rangle = \textbf{\textit{U}}(t) \vert\Psi(0)\rangle.$$

$\textbf{\textit{U}}(t) = e^{-i \textbf{\textit{\scriptsize H}} t / \hbar}$ se nazývá časově závislý evoluční operátor, který je vždy unitární matice. Evoluční operátor nám tedy ukazuje, jak se systém dynamicky vyvíjí v čase. Jak by řečeno, v Hamiltoniánu jsou zaznamenány kvantové operace, které popisují výpočet. K vyjádření takové operace na kvantovém systému nám postačuje operátor, kterým násobíme příslušný stav. Například operátor

$$\textbf{\textit{U}}(\theta) = \left(\begin {array}{cc} \mat... ...mathrm{sin} \theta & \mathrm{cos} \theta \\ \end{array}\right)$$

můžeme použít s parametrem $\theta = \frac{\pi}{4}$, abychom převedli systém z vlastního stavu $\vert\rangle$ do vyvážené superpozice stavů $\vert\rangle$ a $\vert 1\rangle$:

$$\textbf{\textit{U}}\left(\frac{\pi}{4}\right)\vert\rangle = ... ...ay}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}(\vert\rangle + \vert 1\rangle).$$

Z amplitud pravděpodobností vidíme, že stavy jsou opravdu vyvážené a normalizované, protože $\omega_0 = \omega_1$ a $\omega_0^2 + \omega_1^2 = 1.$ Vraťme se nyní na počátek a připomeňme, že těmito operacemi je možné systém vyvíjet pouze pokud není pozorován (je dostatečně izolován od okolí). V případě, že jej však změříme, přejde stochasticky do jednoho z vlastních stavů podle toho, jaké jsou hodnoty jejich amplitud pravděpodobností a podle výsledku našeho měření.