Univerzální kvantové brány

Na závěr se vraťme k otázce univerzálnosti kvantových bran. Tak jako existují pro klasické obvody množiny univerzálních operátorů, je možné i u kvantových počítačů požadovat univerzalitu. Přitom se snažíme, aby byla tato množina operátorů co nejjednodušší a tím i lépe implementovatelné. Mezi klasickými branami jsou takovými množinami například {NAND} nebo {OR, NOT}. U kvantových bran bylo dokázáno, že Fredkinova a Toffoliho 3-qubitová brána jsou samy o sobě univerzální⁷(a velmi obtížné na implementaci, protože bychom museli ovládat interakci mezi třemi kvantovými systémy). Davidu DiVincenzovi se však podařilo dokázat, že na rozdíl od klasické informatiky, lze v kvantové informatice vyjádřit libovolný kvantový obvod pouze s využitím 2-qubitových bran. Uvažujeme-li 2-qubitovou bránu CNOT⁸, pak lze dokázat, že tato brána není samotná univerzální. Může nás však napadnout, že společně s nějakou 1-qubitovou bránou by taková množina univerzální být mohla (což by bylo nadějné vzhledem k méně náročné implementaci 1- a 2-qubitových bran). Jak bylo zjištěno, lze obecnou 1-qubitovou unitární transformaci U$_1$ vyjádřit jako součin čtyř matic $2\times2$

$$\left( \begin{array}{cc} e^{i\delta} & 0 \\ 0 & e^{i\delta} ... ...{cc} e^{i\beta/2} & 0 \\ 0 & e^{i\beta/2} \end{array} \right),$$

kde první matice je fázový posun vzhledem k $\delta$, druhá a čtvrtá matice jsou rotace o daný úhel kolem $z$ a třetí matice je rotace kolem osy $y$ o úhel $\theta$. Po roznásobení dostáváme

$$\textbf{\textit{U$_1$}}(\delta, \alpha, \beta, \theta) = \le... ...alpha/2 - \beta/2)} {\rm cos}\theta/2 \\ \end{array} \right),$$

kde $\delta, \alpha, \beta$ a $\theta \in \mathbb{R}$. Například při $\delta = \alpha = \beta = 0$ vytvoříme operátor, který mezi sebou prohazuje qubity $\vert\rangle \rightarrow -\vert 1\rangle$ a $\vert 1\rangle \rightarrow \vert\rangle$. Právě pro množinu {U$_1$ $(\delta, \alpha, \beta, \theta)$, CNOT} Adriano Barenco a jiní dokázali, že je pro konstrukci kvantových obvodů univerzální. Kombinací těchto dvou bran je totiž možné vytvořit Toffoliho univerzální bránu. Navíc lze univerzalitu 2- a 3-qubitových bran v jistém smyslu zobecnit a vyjádřit jako příslušnou parametrizovanou kvantovou bránu. Například 2-qubitovou univerzální bránu pro bázi $\{ \vert0\rangle, \vert1\rangle, \vert 10\rangle, \vert 11\rangle \}$ poprvé popsal Adriano Barenco:

$$\textbf{\textit{A}}(\phi, \alpha, \theta) = \left( \begin{ar... ...n}\theta & e^{i\alpha}{\rm cos}\theta \\ \end{array} \right),$$

kde $\phi, \alpha, \theta$ jsou pevně zvolené iracionální násobky $\pi$ nebo samy sebe. Ještě před Barencem zobecnili reverzibilní Toffoliho bránu Deutsch a DiVincenzo a pro bázi $\{ \vert00\rangle, \ldots , \vert 111\rangle\}$ vymysleli 3-qubitovou univerzální bránu.

$$\textbf{\textit{D}}(\theta) = \left( \begin{array}{cccccccc}... ... & {\rm sin}\theta & i{\rm cos}\theta \\ \end{array} \right).$$

Je zřejmé, že D $(\frac{\pi}{2})$ = CCNOT.