Footnotes

... 30 milionů ¹: Pentium 4 od Intelu jich má mít v roce 2001 na technologii 0,13 mikronů 42 miliónů - viz prognóza v časopisu Computer v referencích.
... počítačů ²: I když například IBM tvrdí, že jejich budoucí technologie V-Groove za 10-15 let dokáže vytvářet spoje menší než 0,01 mikronu.
... superpozic ³: Kvantový systém je v superpozici, pokud se nenachází ve stavu konkrétní čisté hodnoty (kterou měříme - viz dále). Místo toho je jeho stav namíchán z několika možných výsledných hodnot. Klasickým příkladem je problém tzv. Schrödingerovy kočky z roku 1935. Schrödinger popsal lehce nadnesený problém kočky uvězněné v krabici, na niž míří pistole, kterou spouští mechanizmus závislý na náhodném jevu rozpadu radioaktivního atomu s poločasem 1 hodina. Pokud se atom rozpadne, kočka zemře a naopak (pravděpodobnost rozpadu během hodiny je 1/2). Jestliže stav atomu vyjádříme kvantově-mechanicky jako superpozici stavů rozpadlého a nerozpadlého atomu, pak po uplynutí jedné hodiny se stav kočky změní zrovna tak: kočka je nyní živá i mrtvá zároveň! Je tedy v superpozici dvou stavů. Teprve když krabici otevřeme (provedeme měření), zjistíme jen jednu z možných alternativ. Závěr: Superpozice v makrosvětě nepozorujeme, protože měřením superpozice rušíme.
... ortogonální ⁴: Pokud si chceme takový prostor alespoň částečně představit můžeme říci, že vlastním stavům odpovídají osy prostoru, které jsou mezi sebou navzájem kolmé.
... reverzibilitu ⁵: Přesněji dokázal, že pro každý vypočitatelný problém existuje 3-páskový Turingův stroj, který je reverzibilní. Reverzibilitě byla věnována pozornost v souvislosti se zahříváním klasických obvodů.
... vypočítáme ⁶: Je zřejmé, že řada prvků výsledného Hamiltoniánu bude rovna 0. Například pokud je stav registru zapsán jako $\vert wxyz\rangle$ , pak násobení ca $\vert wxyz\rangle$ nabývá nulový vektor 0 kdykoliv je nultý qubit $\vert\rangle$ nebo první qubit $\vert 1\rangle$ . Podobně si lze výpočet usnadnit u výrazu ca. Komplexně sdružené a transponované části jsou symetrické.
... univerzální ⁷: Snadno lze ukázat, že Toffoliho brána CCNOT může nahradit například univerzální operaci NAND, protože CCNOT $\vert 1, 1, z\rangle \rightarrow \vert 1, 1, \overline{z}\rangle$ a CCNOT $\vert x, y, 0\rangle \rightarrow \vert x, y, xy\rangle$ .
...CNOT ⁸: Všimněme si, že některé brány, o nichž jsme se zmínili (CNOT, CCNOT, Fredkinova, ...) jsou vlastně klasické reverzibilní brány, které jsou jen speciálním případem množiny všech kvantových bran. Reverzibilní bránu lze zkonstruovat z nereverzibilních bran například zkopírováním vstupů na výstup pro zachování informace.
... kryptografie ⁹: Asymetrická kryptografie je založena na tzv. jednosměrných funkcích se zadními vrátky. Tyto funkce lze vypočítat v jednom směru snadno (a rychle - případ šifrování), kdežto opačným směrem (dešifrování) obtížně. Rychlé dešifrování (zadní vrátka) je možné pouze se znalostí určité utajené informace (privátního klíče). Klíč určující funkci pro zašifrování se nazývá veřejný klíč. Zadní vrátka se obvykle vytvářejí pomocí složitých matematických problémů jako jsou faktorizace (na kterou se my zaměříme) nebo diskrétní logaritmy. Problém diskrétních logaritmů je pro konstrukci asymetrických mechanizmů považován za stejně vhodný jako faktorizace. Je obvykle formulován takto: Najděte celé číslo takové, že $g^x \equiv h ({\rm mod}\ p)$ , kde a jsou prvky konečné grupy . Například v $G_{17}$ je řešením $3^x \equiv 13 ({\rm mod}\ 17)$ hodnota . Na složitosti výpočtu diskrétních logaritmů jsou založeny například kryptosystémy ElGamal nebo DSS.
... (přibližně ¹⁰: V našem příkladě nejsou výsledky 4 a 19 superpozicí 4 stavů, protože se jedná o poslední neúplnou periodu (proto mají amplitudu $1/\sqrt{3}$ ); pro velká čísla je po měření rozdíl amplitud mezi jednotlivými výsledky nevýznamný.
... nejvhodnější ¹¹: Jak jsme již řekli, počítače dokáží vytvářet jen pseudonáhodná čísla, která jsou vytvářena deterministickým algoritmem. V kryptografii nahrazujeme požadavek náhodnosti požadavkem nepredikovatelnosti. Ze znalosti hodnot $x_1, \ldots, x_{n-1}$ nesmí útočník úspěšně určit . Takovéto generátory se vytvářejí např. za pomoci algoritmů blokových šifer, které vytváří náhodné sekvence závislé na klíčích těchto algoritmů, bez nichž je sekvence nepredikovatelná. Pro zpracování opravdu citlivých informací se však i zde vyžaduje generátor založený na fyzikálním principu (viz dále).
... částice ¹²: V roce 1960 ukázal John Bell, že existuje experiment, kterým lze vyvrátit existenci skrytých proměnných a potvrdit nelokální realitu. Experiment po něm dostal název Bellovy nerovnosti.
... stavech ¹³: Například informace o střední hodnotě určité sledované veličiny, časovém vývoji smíšeného systému nebo pravděpodobnostech přechodů do vlastních stavů sledované veličiny (dostáváme zde jakýsi dvouúrovňový systém pravděpodobností - jednak klasické pravděpodobnosti existence čistých stavů v rámci smíšeného stavu a jednak kvantové pravděpodobnosti vlastních stavů v čistých stavech).
... symetrická ¹⁴: To znamená, že nezáleží na pořadí v jakém spojujeme pomocí tenzorového součinu jednotlivé stavy.
... informací ¹⁵: Což může být v částečném rozporu s bodem 1. Pokud budeme chtít například faktorizovat dlouhé celé číslo nebo hledat v nesetříděném seznamu, pak je zapotřebí tyto data (nebo alespoň část z nich) načíst do paměti, aby bylo možné využívat efektů superpozice a interference.
... algoritmus ¹⁶: Groverův kvantový algoritmus vyhledává s využitím superpozice v nesetříděném seznamu v čase kolem ${\cal O}(\sqrt{n})$ . Právě tolik kroků potřebuje algoritmus k tomu, aby se amplitudy pravděpodobností nad superpozicí všech prvků upravily tak, že hledaný prvek má amplitudu pravděpodobnosti blízkou 1 (to znamená, že bude změřen právě tento prvek). Klasicky trvá prohledání seznamu prvků v průměru kroků, tj. ${\cal O}(n)$ .