Teleportace jednoho qubitu

Jak známo, Heisenbergův princip neurčitosti nedovoluje změřit přesně všechny charakteristiky kvantového systému současně. Tím bychom ale hned v úvodu možné diskuze o teleportaci zcela eliminovali, protože by nebylo možné získat informaci o celém kvantovém systému před tím, než bychom jej přenesli. To se ale změnilo roce 1993, kdy skupina předních kvantových teoretických informatiků dospěla k formulaci teleportace stavu kvantového systému s využitím další z vlastností kvantového světa, a sice fenoménu propletení (entanglement) kvantových stavů. Fyzikálně mají propletené částice korelován nějaký atribut, který se při jejich vzniku zachovává. Příkladem takového atributu je spin nebo polarizace. Jestliže má jedna částice spin nahoru, pak druhá má s jistotou spin dolů a naopak. Při měření na jedné částici dojde ke kolapsu vlnové funkce systému v celém prostoru a k přechodu do jednoho z možných vlastních stavů. Tím se jednoznačně určí, která z částic má spin dolů a která nahoru. Téměř magická povaha propletení vyvolává mezi fyziky řadu otázek. Zejména je s podivem, že lze bez přítomnosti výměnných částic ovlivňovat částici, která je třeba na opačné straně vesmíru. Očekávali bychom, že v kauzálním kontaktu mohou být jen místa, mezi nimiž existuje časoprostorové spojení omezené rychlostí světla. Nicméně kvantová mechanika v tomto ohledu směřuje rázně ke konceptu nelokální reality. Tento koncept byl dlouho odmítán, protože Einsteinovi připadalo nemožné, aby kvantová mechanika porušovala principy lokálnosti, kterými se řídí relativistická fyzika. Tento problém byl později nazván EPR (Albert Einstein, Boris Podolsky, Nathan Rosen) paradox. Zabýval se otázkou, zda již v momentě vzniku nemohou mít částice předem určeny výsledky měření. A to i s možností, že neznáme všechny aspekty popisu kvantového světa a tudíž existují skryté proměnné, které by dopředu udržovaly informaci o stavu částic (což by ukazovalo na neúplnost kvantové mechaniky). Fyzikové se poté snažili tento paradox vyvrátit a teoretickým experimentem (který byl pak několikrát v praxi potvrzen) dokázali, že obě částice nabývají hodnoty daného atributu až v momentě měření a náhodného přechodu do vlastního stavu korelovaného se stavem druhé částice¹². Stavu propletení se také jinak říká EPR stav nebo EPR efekt. Propletení je možno připravit různými fyzikálními postupy. Například se k tomu používá krystal $\beta$-BaB$_2$O$_4$. Jestliže do tohoto krystalu namíříme ultrafialový foton, pak se někdy po průchodu přemění na dva fotony s nižší energií, jeden polarizovaný vertikálně, druhý horizontálně. Pokud však foton prochází místem krystalu, kde jsou výskyty obou polarizací v rovnováze, pak dojde ke vzniku dvou fotonů, jejichž polarizace jsou neurčité, avšak komplementární. Matematicky je propletení stav, který nelze vyjádřit jako direktní součin jednotlivých stavů složek.

$$\vert\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(\vert0\rangle + \vert 1... ...i\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(\vert1\rangle + \vert 10\rangle).$$

Předpokládejme, že Alice má nějakou částici $A$ v neznámém kvantovém stavu $\vert\psi\rangle = \omega_0 \vert\rangle + \omega_1 \vert 1\rangle,$ kde $\vert\omega_0\vert^2 + \vert\omega_1\vert^2 = 1$, a chce tento stav poslat Bobovi. Víme, že změřit částici nemůže, protože by tím křehký kvantový stav porušila. Jediné co ji zbývá, je stav teleportovat. K tomu ale bude muset využít triku s propletením stavů částic. Nejprve si Alice a Bob připraví propletený EPR pár dvou částic $B$ a $C$ jako $\vert\phi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(\vert0\rangle + \vert 11\rangle).$ Alice si z tohoto páru ponechá částici $B$, Bobovi zašle částici $C$. Alice pak spojí svoji částici $A$ a propletený pár do systému tří částic

$$\vert\varphi\rangle = \vert\psi\rangle \otimes \vert\phi\rang... ...angle + \omega_1 \vert 100\rangle + \omega_1\vert 111\rangle).$$

K provedení teleportace musí nyní Alice provést měření na sloučeném stavu obou částic. Toto měření je speciální tím, že musí být provedeno v tzv. Bellově bázi pouze pro částice $A$ a $B$ (což způsobí pouze jiné vyjádření stavu $\vert\varphi\rangle$), jejíž čtyři stavy tvoří úplnou ortonormální bázi částic $A$ a $B$. Tato báze má tvar $\big\{\vert\Psi^- \rangle,\vert\Psi^+ \rangle, \vert\Phi^- \rangle, \vert\Phi^+ \rangle \big\}$, kde

$$\vert0\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(\vert\Psi^+ \rangle + \ver... ... \frac{1}{\sqrt{2}}(\vert\Phi^+ \rangle + \vert\Phi^- \rangle),$$

$$\vert 10\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(\vert\Psi^+ \rangle - \v... ... \frac{1}{\sqrt{2}}(\vert\Phi^+ \rangle - \vert\Phi^- \rangle).$$

Protože lze výše uvedený zápis stavu $\vert\varphi\rangle$ přepsat na

$$\vert\varphi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} (\omega_0 \vert0\ran... ...vert\rangle + \omega_1\vert 11\rangle \otimes \vert 1\rangle),$$

je možné první dva qubity převést do Bellovy báze a $\vert\varphi\rangle$ vyjádřit jako

$$\vert\varphi\rangle = \vert\Phi^+\rangle \frac{1}{\sqrt{2}} ... ...1}{\sqrt{2}} (\omega_1 \vert\rangle + \omega_0 \vert 1\rangle)$$

$$\hskip 8mm + \vert\Phi^-\rangle \frac{1}{\sqrt{2}} (\omega_0 ... ...}{\sqrt{2}} (\omega_1 \vert\rangle - \omega_0 \vert 1\rangle).$$

Pokud nyní Alice změří v Bellově bázi první dva qubity stavu $\vert\varphi\rangle$, obdrží se stejnou pravděpodobností 1/4 jeden ze 4 možných výsledků, tj. některý ze stavů $\vert\Phi^+\rangle, \vert\Psi^+\rangle, \vert\Phi^-\rangle, \vert\Psi^-\rangle$. Protože jsou však částice propleteny, změní se přitom projekcí i stav Bobovy částice na jeden ze stavů

$$\frac{1}{\sqrt{2}} (\omega_0 \vert\rangle + \omega_1 \vert 1\... ...1}{\sqrt{2}} (\omega_1 \vert\rangle - \omega_0 \vert 1\rangle).$$

Všimněme si, že Alice svým měřením prvních dvou qubitů neodkryla nic konkrétního o stavu částice $A$, kterou chce teleportovat. Místo toho pouze odhalila, kterou kombinaci sloučených stavů všech tři částic u sebe má. Rozhodující tak byla před měřením skutečnost, že jsme přechodem do nové báze promíchali předtím oddělený stav částice $A$ (první qubit stavu $\vert\varphi\rangle$) s propleteným párem částic $B$ a $C$ (druhý a třetí qubit). V tuto chvíli má u sebe Bob jeden ze čtyř možných teleportovaných stavů. Pouze v jednom případě jsou však správně zachovány amplitudy, ostatní výsledky jsou různě rotovány. Proto přichází chvíle, kdy se Alice s Bobem spojí klasickým komunikačním kanálem a sdělí mu, jaký výsledek naměřila. Bob tuto klasickou (2-bitovou) informaci použije k tomu, aby na stav částice $C$ aplikoval příslušnou rotaci. K tomu použije následující tabulku.

měření Alice	rotace Boba	měření Alice	rotace Boba
$\vert\Phi^+\rangle$	$\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{array}\right)$	$\vert\Psi^+\rangle$	$\left(\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{array}\right)$
$\vert\Phi^-\rangle$	$\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{array}\right)$	$\vert\Psi^-\rangle$	$\left(\begin{array}{cc} 0 & -1 \\ 1 & 0 \\ \end{array}\right)$

Poznamenejme, že je to právě komunikace klasickým kanálem, která znemožňuje posílat informace nadsvětelnou rychlostí. Bez informace o měření Alice by Bob nemohl s jistotou říci, že má stav částice $A$. Zároveň je zřejmé, že je naplněn také teorém o klonování kvantových stavů tím, že stav částice $A$ je při teleportaci zničen.