Kvantový stav

Kvantový stav představuje v kvantové mechanice reprezentaci fyzikální reality. Ta má podle Kodaňské interpretace kvantové mechaniky dvě hlavní části. První je část klasického světa, která odpovídá tomu, jak se na tento svět díváme a jaký jej registrujeme. Druhou součástí je kvantový svět, který není přímo přístupný. Můžeme z něj však pomocí aktu měření extrahovat určité informace. V klasické části nabývá při měření kvantový systém (například energetická hladina elektronu v atomu vodíku nebo spin elektronu) pouze diskrétní hodnoty odpovídající skokům v celkové energii daného systému. Na kvantové úrovni (v kvantové části světa) však mohou sledované veličiny nabývat nekonečně mnoho hodnot odpovídajících nekonečně mnoho kvantovým stavům. Již z těchto poznatků vidíme, že existuje zásadní rozdíl mezi systémem, na němž bylo provedeno měření a takovým, který je izolován od okolí a spojitě se vyvíjí. Spojitý a deterministický vývoj kvantového systému v kvantové mechanice popisuje Schrödingerova vlnová rovnice, jejímž řešením je vlnová funkce odpovídající danému kvantovému systému. Kvantový systém se však může skládat z více vlnových funkcí, o kterých říkáme, že jsou v superpozici. To znamená, že kvantový stav je vyjádřen jako součet několika vlnových funkcí. Aby bylo zřejmé jakým příspěvkem se podílí každá vlnová funkce na celkovém stavu, přísluší každému stavu komplexní hodnota tzv. amplitudy pravděpodobnosti. Z klasického pohledu nás však zajímá, jak můžeme z takového kvantového systému získat určitou informaci. V této chvíli se dostáváme k otázce měření podrobněji. Měření většinou provádíme tak, že vyšleme foton ke zkoumanému systému. Foton v podobě změny své energie unáší ze systému informaci, kterou zpětně detekujeme. Taková interakce fotonu s kvantovým systémem má však za následek tzv. kolaps (redukci) vlnové funkce, která stochasticky přejde do jednoho z možných stavů složeného systému. Každému stavu přísluší výše zmíněná amplituda pravděpodobnosti. Druhá mocnina její absolutní hodnoty udává, s jakou pravděpodobností bude změřen každý z možných stavů. Amplituda pravděpodobnosti může být na rozdíl od klasické pravděpodobnosti také komplexní (a záporná) a dovoluje nám tak čistě kvantovými interakcemi (takovými, které nepředstavují přímé měření) ovlivňovat výsledek měření. Protože měření nemusí vždy vracet numerický výsledek (např. polarizace fotonů - horizontální $\times$ vertikální), označuje se měřitelná vlastnost fyzikálního systému jako pozorovatelná veličina (observable). Všimněme si, že zavedením amplitud pravděpodobností je charakter kvantového měření pravděpodobnostní, což poukazuje na náhodný element, tvořící základ pozorovaným fyzikálním procesům. Nyní se zaměřme na to, jak jsou tyto poznatky kvantové mechaniky použitelné v oblasti kvantové informatiky. U klasických počítačů jsme zvyklí reprezentovat bit napěťovými úrovněmi, které dostatečně odlišují 0 od 1. U kvantových počítačů je možné použít některý z dvoustavových kvantových systémů jako je například spin částice (tj. spin 1/2 u leptonů). Takový systém může klasicky nabývat pouze 2 hodnot (stavů): $\vert+\frac{1}{2}\rangle$ a $\vert-\frac{1}{2}\rangle$. Tak si lze představit, že bity 0 a 1 zakódujeme pomocí jednoho a druhého spinového stavu. Spin částice je jen jeden z více možných dvoustavových kvantových systémů, které lze použít. Jiné systémy by obstály stejně dobře. Kvantový stav popisujeme vektorem v komplexním lineárním Hilbertově prostoru. Každému prvku báze tohoto prostoru (tj. dimenzi) přísluší jeden vlastní stav, do kterého může kvantový systém při měření přejít. Vlastní stavy jsou přitom vzájemně ortogonální⁴. Nicméně kvantový systém prochází podle Schrödingerovy vlnové rovnice spojitým vývojem stavového vektoru a může tak nabývat nekonečného množství stavů. Libovolný stav (a tím i bod Hilbertova prostoru) můžeme vyjádřit jako součet vlastních stavů (bázových vektorů) násobených komplexními váhovými koeficienty, které představují příspěvek daného bázového vektoru v celkovém stavu. O takovém systému říkáme, že je v koherentní superpozici více stavů vyjádřené jako lineární kombinace bázových vektorů. Pro nejjednodušší případ, kdy chceme vyjádřit kvantový bit jako hodnoty 0 a 1, potřebujeme dva vlastní stavy dvojrozměrného Hilbertova prostoru. Pak takový systém zapisujeme jako:

$$\vert\psi\rangle = \omega_0\vert\psi_0\rangle + \omega_1\vert\psi_1\rangle,$$

kde $\omega_0, \omega_1 \in {\mathbb{C}}$. Tyto koeficienty odpovídají amplitudám pravděpodobnosti a mají fyzikální význam ve své druhé mocnině absolutní hodnoty, která říká s jakou pravděpodobností naměříme příslušný vlastní stav. Přitom součet pravděpodobností je obecně přes $i$ různých vlastních stavů prostoru ${\cal H}^i$ v případě, že jsou koeficienty normovány, roven 1:

$$\sum_{i=0}^{n-1} \vert\omega_i\vert^2 = 1.$$

Vlastní stavy $\vert\psi_0\rangle$ a $\vert\psi_1\rangle$ (odpovídající klasickým bitům) se obvykle označují jako stavy $\vert\rangle$ a $\vert 1\rangle$. Pokud tyto vlastní stavy odpovídají bázovým vektorům $\vert\rangle = \left(\begin {array}{c} 1 \\ 0 \\ \end{array}\right), \vert 1\rangle = \left(\begin {array}{c} 0 \\ 1 \\ \end{array}\right)$ můžeme psát, že

$$\vert\psi\rangle = \omega_0\vert\rangle + \omega_1\vert 1\ran... ...t(\begin {array}{c} \omega_0 \\ \omega_1 \\ \end{array}\right).$$

Obrázek: Reprezentace dvoustavového systému: na obrázku vlevo je znázorněn doposud neměřený stav qubitu, v němž jsou v určitém poměru zastoupeny stavy $\vert\rangle$ a $\vert 1\rangle$, na prostředním obrázku je pak vlastní stav $\vert 1\rangle$ a vpravo stav $\vert\rangle$.

Takový dvoustavový systém, který představuje kvantový bit, nebo-li qubit, je možné názorně zobrazit jako vektor v Riemannově kouli s umístěním v počátku souřadnic (viz obrázek). V něm je $\vert 1\rangle$ reprezentována jako vektor směřující k severnímu pólu, $\vert\rangle$ k jižnímu. Z úhlu, který vektor svírá se svislou osou je možné vyčíst poměrné zastoupení $\vert 1\rangle$ a $\vert\rangle$ ve stavovém vektoru. Úhel, o který je vektor otočen kolem svislé osy se nazývá fáze, která nemění poměr $\vert 1\rangle$ a $\vert\rangle$, ale je významná vzhledem k jevu kvantové interference, o kterém se zmíníme později. Qubit je možné znázornit i v polárních souřadnicích na tzv. Blochově kouli, ve které je stav qubitu vyjádřen pro úhly polárních souřadnic $\theta, \phi$ jako ${\rm cos} \frac{\theta}{2}\vert\rangle + e^{i\phi}{\rm sin}\frac{\theta}{2}\vert 1\rangle$. Pro vícestavový kvantový systém je možné výše uvedený výraz pro superpozici zobecnit na

$$\vert\psi\rangle = \sum_{i=0}^{n-1} \omega_i \vert\psi_i\rangle.$$

Na závěr této části si pro přehlednost shrňme, jak korespondují pojmy kvantové mechaniky s pojmy kvantové informatiky pro qubit (${\cal H}^2)$.

kvantová mechanika	kvantová informatika
vlnová funkce $\psi_1$	vlastní stav $\vert\rangle$
vlastní hodnota $a_1$	logická hodnota 0
vlnová funkce $\psi_2$	vlastní stav $\vert 1\rangle$
vlastní hodnota $a_2$	logická hodnota 1
superpozice $\psi_1 + \psi_2$	superpozice $\vert\rangle + \vert 1\rangle$