Definice 1: Nechť je množina objektů (vektorů), je
množina komplexních čísel, + je operace součtu a je
operace násobení. Pak se čtveřice
nazývá
komplexní vektorový prostor, jestliže pro zmíněné operace platí:
mějme dány libovolné vektory
a komplexní čísla
, pak:
Poznámka: Vektory budeme v následujícím výkladu chápat jako -rozměrné prvky .
Definice 2: Komplexní skalární součin na vektorovém prostoru přiřazuje libovolným dvěma vektorům
komplexní číslo, které zapisujeme
, a které má pro libovolné
a
tyto vlastnosti:
Prostory, v nichž je definován skalární součin se nazývají unitární. Pro případ vektorů z navíc platí následující: mějme dva vektory . Potom podmínky z definice skalárního součinu jsou splněny pro , kde jsou příslušné složky obou vektorů. Dále říkáme, že jsou dva vektory vzájemně ortogonální, pokud je . Ortogonální bází potom nazýváme množinu lineárně nezávislých vektorů, jejíž jakékoliv dva různé vektory mají skalární součin roven nule. Příkladem může být množina dvou vektorů z , kde , .
Definice 3: Každý vektor má k sobě přiřazeno číslo
, které představuje jeho normu (délku).
Pro jakékoliv vektory
a číslo
platí,
že:
Triviálně dále platí, že
. Vektorový prostor, jenž má normu se nazývá
normovaný vektorový prostor. Pokud je v komplexním vektorovém prostoru
definován skalární součin, pak lze normu vyjádřit jako:
Definice 4: Posloupnost vektorů normovaného vektorového prostoru se nazývá Cauchyho posloupnost pokud takové, že pro všechny je .
Definice 5: Vektorový prostor je úplný, pokud každá Cauchyho posloupnost vektorů konverguje k vektoru, který je prvkem .
Příklad 2: Cauchyho posloupnost se skládá z čísel, jejichž rozdíly se s vyšším indexem čísel posloupnosti zmenšují. Například posloupnost je Cauchyho posloupnost racionálních čísel. Vidíme, že prostor racionálních čísel není úplný, protože tato posloupnost konverguje zřejmě k , jenž není racionální číslo.
Motivací pro zavedení úplnosti Hilbertova prostoru v kvantové informatice je požadavek na vývoj izolovaného kvantového stavu v rámci jednoho Hilbertova prostoru (to znamená, že chceme, aby vývoj stavu konvergoval také do jistého stavu).
Poznámka: Pojem konvergence (limity) vychází ze zavedení metriky prostoru (vzdálenosti mezi dvěma prvky) jako .
Definice 6: Úplný unitární vektorový prostor se nazývá Hilbertův prostor .
V roce 1932 vyšla v němčině kniha matematika Johna von Neumanna, který v ní popis kvantových systémů zformalizoval.
Postulát 1: Stavy kvantového systému korespondují vektorům Hilbertova prostoru.
V kvantové mechanice se stav zapisuje v tzv. Diracově notaci, která pro zápis vektoru používá ekvivalentu a nazývá jej ket. Vektory Hilbertova prostoru (které stále chápeme jako aritmetické) zapisujeme buď v řádku nebo sloupci. Jestliže jsou sloupcové vektory prvky prostoru , pak řádkové vektory představují prvky tzv. duálního prostoru . Duální (konjugovaný) prostor je prostor lineárních funkcí na vektorovém prostoru . Pokud je pro stavy definována funkce jako , pak je ekvivalentní řádkovému vektoru, který zapisujeme a nazýváme bra. Lze ukázat, že pro vektory z představují vektory z komplexně sdruženou transpozici k vektorům z . S jejich pomocí lze pro dva vektory odpovídající stavům a definovat skalární součin jako , což se obvykle zkracuje na zápis tvořící závorku (bracket). Shrňme si notaci do následující tabulky:
|
Příklad 3: Obecný ket = má příslušný vektor bra kde symbol označuje komplexně-sdruženou transpozici.
Příklad 4: Uvažujeme-li tří-složkové vektory
,
pak skalární součin generuje skalár:
Pro každý uzavřený podprostor v existuje jeho komplementární podprostor , který obsahuje prvky kolmé k prvkům (tj. , pokud je ). Navíc každý vektor lze vyjádřit ve tvaru kde . Obecně je možné vyjádřit dekompozici prostoru pomocí jeho ortogonálních podprostorů jako: , kde představuje direktní součet.
Definice 8: Lineární operátor A: přiřazuje každému vektoru vektor A , kde a platí, že .
Lineární operátory tedy umožňují transformovat vektory v jednom prostoru. Pokud operátor A působí na vektory duálního prostoru, potom takovou operaci zapisujeme A. Elementy matice lineárního operátoru můžeme rovněž vyjádřit pomocí bázových vektorů jako A = , kde jsou indexy řádků a sloupců a množina je báze indexovaná stejně jako řádky. Operátor, který zobrazuje vektory na sebe samy se nazývá jednotkový a značí se 1. Je definován pomocí bázových vektorů jako . Pro ortonormální bázi se zřejmě jedná o jednotkovou matici.
Definice 9: Operátor se nazývá sdružený (adjungovaný) k operátoru A, jestliže pro všechny platí, že .
Pro popis fyzikálních veličin (pozorovatelných veličin) používá kvantová mechanika zvláštní třídu tzv. Hermitových operátorů.
Definice 10: Operátor A se nazývá samosdružený (také Hermitový), jestliže pro všechny platí, že , tj. .
Definice 11: Lineární operátor A má vlastní vektory a vlastní hodnoty , kde , resp. .
Pro výpočet vlastních hodnot si všimněme, že determinant det . V případě Hermitových operátorů, jsou všechny vlastní hodnoty reálné. Ty korespondují všem (také reálným) možným výsledkům měření určité veličiny. Odpovídající vlastní vektory jsou přitom navzájem ortogonální.
Postulát 2: Pozorovatelné fyzikální veličiny se popisují Hermitovými operátory, jejichž reálné vlastní hodnoty odpovídají možným výsledkům měření.
Vlastní vektory Hermitových operátorů operujících na prostoru tvoří jeho bázi, tj. všechny vektory lze vyjádřit jako , kde jsou vlastní vektory a jsou příslušné koeficienty.
Definice 12: Unitární lineární operátor U provádí zobrazení celého prostoru na sama sebe a pro vektory platí, že .
Poslední podmínka znamená, že aplikace unitárního operátoru nemění skalární součin obou vektorů a můžeme ji také zapsat jako .
Nyní máme nadefinovány základní pojmy, které budeme používat. K ostatním se dostaneme při výkladu konkrétních problémů. Protože jsme se zatím kromě důležitých sdělení v postulátech nedozvěděli, jak kvantová mechanika s tímto matematickým formalizmem souvisí, musíme si nyní o tomto vztahu povědět více. Začněme popisem kvantového stavu a problematickou otázkou měření kvantového systému.