Seznam povinně volitelných předmětů programu OM, zaměření Matematická analýza
| Geometrie 2 | (2/2, | Z+Zk, | 2LS, | 5 ECTS) |
| Obyčejné diferenciální rovnice | (2/2, | Z+Zk, | 3LS, | 5 ECTS) |
| Teorie míry a integrálu 2 | (2/0, | Zk, | 3ZS, | 3 ECTS) |
| Úvod do funkcionální analýzy | (4/2, | Z+Zk, | 3ZS, | 8 ECTS) |
| Úvod do parciálních diferenciálních rovnic | (2/2, | Z+Zk, | 3ZS, | 5 ECTS) |
Geometrie 2
(2/2, Z+Zk, 2LS, 5 ECTS)Anotace
Elementární úvod do vektorového počtu, věta o potenciálu, Greenova a Gaussova věta. Vnější algebra vektorového prostoru, vlastnosti vnějšího násobení, orientace.Diferenciální formy na otevřených množinách, vnější diferenciál, formy v dimenzi 3.
Přenášení diferenciálních forem pomocí zobrazení, integrační obory.
Stokesova věta pro formy stupně k, Gaussova věta pro oblast s hladkou hranicí.
Regulární a zobecněné plochy, orientace, Stokesova věta pro zobecněné formy. Integrál 1. druhu z funkce přes zobecněnou plochu.
Plochy v R3, 1. fundamentální forma plochy, tečný a normálový prostor plochy.
2. fundamentální forma plochy, normálová, Gaussova a střední křivost.
Hlavní a asymptotické křivky, Gaussovo zobrazení, Christoffelovy symboly.
Geodetická křivost, geodetiky, rovnice pro geodetiky.
Riemannova metrika, modely hyperbolické geometrie.
Literatura
L. Krump, V. Souček, J. Těšínský: Úvod do analýzy na varietách, Karolinum, 2002.J. Kopáček, Příklady z matematiky pro fyziky III, skriptum, Matfyzpress, 1988.
K. Janich: Vector analysis, Springer Verlag, 2000.
M. do Carmo: Differential geometry of curves and surfaces, Prentice Hall, NJ 1976.
Odkaz na sylabus
sylabus ze dne 43104Obyčejné diferenciální rovnice
(2/2, Z+Zk, 3LS, 5 ECTS)Anotace
Soustavy obyčejných diferenciálních rovnic prvního řádu - existence a jednoznačnost řešení, vlastnosti maximálních řešení.Soustavy lineárních rovnic - fundamentální matice, wronskián, variace konstant.
Exponenciála matice.
Stabilita a asymptotická stabilita.
První integrál, metoda charakteristik.
Rovnice vyššího řádu.
Hlubší výsledky o stabilitě.
Literatura
I.I. Vrabie: Differential equations: an introduction to basic concepts, results, and applications. World Scientific Publishing Co Pte Ltd, 2016.J. Kofroň: Obyčejné diferenciální rovnice v reálném oboru, Karolinum, 2004. (skripta)
G. Teschl: Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems, Graduate Studies in Mathematics 140, Amer.Math.Soc., Providence, 2012
Odkaz na sylabus
sylabus ze dne 05.12.2017Teorie míry a integrálu 2
(2/0, Zk, 3ZS, 3 ECTS)Anotace
Vnější míra a Caratheodoryho konstrukce, konstrukce Lebesgueovy míry, vztah Lebesgueova a Riemannova integrálu, Radon-Nikodymova věta, znaménkové míry, konvergence posloupnosti funkcí, součinové míry (příklad nekonečného součinu).Literatura
Základní literatura:W. Rudin, Analýza v reálném a komplexním oboru, Academia, 2003
Doporučená literatura:
J. Lukeš, J. Malý, Míra a integrál, Univerzita Karlova, Praha, 1993
I. Netuka: Integrální počet. MatfyzPress, Praha, 2016
Odkaz na sylabus
sylabus ze dne 11.05.2017Úvod do funkcionální analýzy
(4/2, Z+Zk, 3ZS, 8 ECTS)Anotace
Banachovy a Hilbertovy prostory, dualita a Hahn-Banachova věta, slabá konvergence posloupností, operátory na Banachových a Hilbertových prostorech, spektrální teorie kompaktních operátorů, Fourierova transformace.Literatura
M.Fabian et al. Banach Space Theory. The basis for Linear and Nonlinear Analysis. Springer 2011.I. Netuka a J. Veselý, Příklady z funkcionální analýzy (skripta MFF UK 1972).
J. Lukeš a J. Malý, Míra a integrál (skripta, Univerzita Karlova, 1993, 2002 - anglické vydání 1995, 2005) .
Odkaz na sylabus
sylabus ze dne 05.12.2017Úvod do parciálních diferenciálních rovnic
(2/2, Z+Zk, 3ZS, 5 ECTS)Anotace
Základní informace o PDR: motivace, typy PDR, typy úloh a jejich klasická řešení.Cauchyova úloha pro kvazilineární PDR 1. řádu: existence a vlastnosti řešení.
Vlnová rovnice: klasické řešení, jeho vlastnosti.
Parabolické rovnice: klasické řešení a jeho vlastnosti, princip maxima.
Eliptické rovnice: klasické řešení a jeho vlastnosti, princip maxima.
Literatura
L. C. Evans: Partial Differential Equations, AMS 1999M. Renardy, R. C. Rogers: An introduction to partial differential equations, Springer 1993