Seznam povinně volitelných předmětů programu OM, zaměření Numerická analýza a matematické modelování
| Analýza maticových výpočtů 1 | (2/2, | Z+Zk, | 3ZS, | 5 ECTS) |
| Geometrie 2 | (2/2, | Z+Zk, | 2LS, | 5 ECTS) |
| Numerické řešení parciálních diferenciálních rovnic | (2/2, | Z+Zk, | 3LS, | 5 ECTS) |
| Obyčejné diferenciální rovnice | (2/2, | Z+Zk, | 3LS, | 5 ECTS) |
| Úvod do funkcionální analýzy | (4/2, | Z+Zk, | 3ZS, | 8 ECTS) |
| Úvod do matematického modelování | (3/0, | Zk, | 3LS, | 5 ECTS) |
| Úvod do parciálních diferenciálních rovnic | (2/2, | Z+Zk, | 3ZS, | 5 ECTS) |
Analýza maticových výpočtů 1
(2/2, Z+Zk, 3ZS, 5 ECTS)Anotace
Opakování maticových rozkladůŘešení lineárních aproximačních problémů
Krylovovy prostory, Arnoldiho a Lanczosova metoda pro výpočet báze
Krylovovské metody pro řešení soustav lineárních algebraických rovnic
Maticové funkce
Speciální matice
Literatura
Duintjer Tebbens, J., Hnětynková, I., Plešinger, M., Strakoš, Z., Tichý, P., Analýza metod pro maticové výpočty: Základní metody, Matfyzpress, Praha, 2012.Fiedler, M., Speciální matice a jejich použití v numerické matematice, SNTL, Praha, l981.
Golub, G..H., Van Loan, C.F., Matrix Computations, J. Hopkins Univ. Press, Baltimore, Third edition 1996.
Higham, N. J., Functions of Matrices: Theory and Computation, SIAM, 2008.
Watkins, D.S., Fundamentals of Matrix Computations, J. Wiley & Sons, New York, Third edition 2010.
Odkaz na sylabus
sylabus ze dne 05.12.2017Geometrie 2
(2/2, Z+Zk, 2LS, 5 ECTS)Anotace
Elementární úvod do vektorového počtu, věta o potenciálu, Greenova a Gaussova věta. Vnější algebra vektorového prostoru, vlastnosti vnějšího násobení, orientace.Diferenciální formy na otevřených množinách, vnější diferenciál, formy v dimenzi 3.
Přenášení diferenciálních forem pomocí zobrazení, integrační obory.
Stokesova věta pro formy stupně k, Gaussova věta pro oblast s hladkou hranicí.
Regulární a zobecněné plochy, orientace, Stokesova věta pro zobecněné formy. Integrál 1. druhu z funkce přes zobecněnou plochu.
Plochy v R3, 1. fundamentální forma plochy, tečný a normálový prostor plochy.
2. fundamentální forma plochy, normálová, Gaussova a střední křivost.
Hlavní a asymptotické křivky, Gaussovo zobrazení, Christoffelovy symboly.
Geodetická křivost, geodetiky, rovnice pro geodetiky.
Riemannova metrika, modely hyperbolické geometrie.
Literatura
L. Krump, V. Souček, J. Těšínský: Úvod do analýzy na varietách, Karolinum, 2002.J. Kopáček, Příklady z matematiky pro fyziky III, skriptum, Matfyzpress, 1988.
K. Janich: Vector analysis, Springer Verlag, 2000.
M. do Carmo: Differential geometry of curves and surfaces, Prentice Hall, NJ 1976.
Odkaz na sylabus
sylabus ze dne 43104Numerické řešení parciálních diferenciálních rovnic
(2/2, Z+Zk, 3LS, 5 ECTS)Anotace
Úvod do metody konečných diferencí.Numerické řešení transportní rovnice.
Numerické řešení smíšené úlohy pro rovnici vedení tepla v 1D.
Analýza obecného schématu pro rovnice 1. řádu v čase.
Numerické řešení eliptických rovnic.
Literatura
K. W. Morton, D. F. Mayers: Numerical solution of partial differential equations, 2nd ed., Cambridge University Press, Cambridge, 2005J. C. Strikwerda: Finite difference schemes and partial differential equations, 2nd ed., SIAM, Philadelphia, 2004
R. J. LeVeque: Finite difference methods for ordinary and partial differential equations: steady-state and time-dependent problems, SIAM, Philadelphia, 2007
J. W. Thomas: Numerical partial differential equations: finite difference methods, Springer, New York, 1995
A. Quarteroni, A. Valli: Numerical approximation of partial differential equations, 2nd ed., Springer, 2008
M. Feistauer: Diskrétní metody řešení diferenciálních rovnic, skripta, SPN, Praha, l98l
Odkaz na sylabus
sylabus ze dne 05.12.2017Obyčejné diferenciální rovnice
(2/2, Z+Zk, 3LS, 5 ECTS)Anotace
Soustavy obyčejných diferenciálních rovnic prvního řádu - existence a jednoznačnost řešení, vlastnosti maximálních řešení.Soustavy lineárních rovnic - fundamentální matice, wronskián, variace konstant.
Exponenciála matice.
Stabilita a asymptotická stabilita.
První integrál, metoda charakteristik.
Rovnice vyššího řádu.
Hlubší výsledky o stabilitě.
Literatura
I.I. Vrabie: Differential equations: an introduction to basic concepts, results, and applications. World Scientific Publishing Co Pte Ltd, 2016.J. Kofroň: Obyčejné diferenciální rovnice v reálném oboru, Karolinum, 2004. (skripta)
G. Teschl: Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems, Graduate Studies in Mathematics 140, Amer.Math.Soc., Providence, 2012
Odkaz na sylabus
sylabus ze dne 05.12.2017Úvod do funkcionální analýzy
(4/2, Z+Zk, 3ZS, 8 ECTS)Anotace
Banachovy a Hilbertovy prostory, dualita a Hahn-Banachova věta, slabá konvergence posloupností, operátory na Banachových a Hilbertových prostorech, spektrální teorie kompaktních operátorů, Fourierova transformace.Literatura
M.Fabian et al. Banach Space Theory. The basis for Linear and Nonlinear Analysis. Springer 2011.I. Netuka a J. Veselý, Příklady z funkcionální analýzy (skripta MFF UK 1972).
J. Lukeš a J. Malý, Míra a integrál (skripta, Univerzita Karlova, 1993, 2002 - anglické vydání 1995, 2005) .
Odkaz na sylabus
sylabus ze dne 05.12.2017Úvod do matematického modelování
(3/0, Zk, 3LS, 5 ECTS)Anotace
Základní fyzikální zákony a jejich formulace ve tvaru parciálních diferenciálních rovnic, odvození rovnic popisujících proudění tekutin.Základní okrajové úlohy teorie pružnosti.
Modelování nevazkého proudění.
Modelování proudění v porézních prostředích.
Transportní procesy.
Rovnice popisující šíření akustických vln.
Literatura
Feistauer M.: Mathematical Methods in Fluid Dynamics, Longman Scientific-Technical, Harlow, l993Nečas J.,Hlaváček I.: Úvod do mat. teorie pružných a pružně plastických těles, SNTL, Praha, l983
Odkaz na sylabus
sylabus ze dne 05.12.2017Úvod do parciálních diferenciálních rovnic
(2/2, Z+Zk, 3ZS, 5 ECTS)Anotace
Základní informace o PDR: motivace, typy PDR, typy úloh a jejich klasická řešení.Cauchyova úloha pro kvazilineární PDR 1. řádu: existence a vlastnosti řešení.
Vlnová rovnice: klasické řešení, jeho vlastnosti.
Parabolické rovnice: klasické řešení a jeho vlastnosti, princip maxima.
Eliptické rovnice: klasické řešení a jeho vlastnosti, princip maxima.
Literatura
L. C. Evans: Partial Differential Equations, AMS 1999M. Renardy, R. C. Rogers: An introduction to partial differential equations, Springer 1993