Seznam povinně volitelných předmětů programu OM, zaměření Matematicé struktury
| Geometrie 2 | (2/2, | Z+Zk, | 2LS, | 5 ECTS) |
| Komutativni algebra | (3/1, | Z+Zk, | 3ZS, | 6 ECTS) |
| Úvod do analýzy na varietách | (2/2, | Z+Zk, | 3ZS, | 5 ECTS) |
Geometrie 2
(2/2, Z+Zk, 2LS, 5 ECTS)Anotace
Elementární úvod do vektorového počtu, věta o potenciálu, Greenova a Gaussova věta. Vnější algebra vektorového prostoru, vlastnosti vnějšího násobení, orientace.Diferenciální formy na otevřených množinách, vnější diferenciál, formy v dimenzi 3.
Přenášení diferenciálních forem pomocí zobrazení, integrační obory.
Stokesova věta pro formy stupně k, Gaussova věta pro oblast s hladkou hranicí.
Regulární a zobecněné plochy, orientace, Stokesova věta pro zobecněné formy. Integrál 1. druhu z funkce přes zobecněnou plochu.
Plochy v R3, 1. fundamentální forma plochy, tečný a normálový prostor plochy.
2. fundamentální forma plochy, normálová, Gaussova a střední křivost.
Hlavní a asymptotické křivky, Gaussovo zobrazení, Christoffelovy symboly.
Geodetická křivost, geodetiky, rovnice pro geodetiky.
Riemannova metrika, modely hyperbolické geometrie.
Literatura
L. Krump, V. Souček, J. Těšínský: Úvod do analýzy na varietách, Karolinum, 2002.J. Kopáček, Příklady z matematiky pro fyziky III, skriptum, Matfyzpress, 1988.
K. Janich: Vector analysis, Springer Verlag, 2000.
M. do Carmo: Differential geometry of curves and surfaces, Prentice Hall, NJ 1976.
Odkaz na sylabus
sylabus ze dne 43104Komutativni algebra
(3/1, Z+Zk, 3ZS, 6 ECTS)Anotace
Úvod- Ideály a delitelnost, aritmetika ideálu, noetherovskost, hierarchie oboru
- Faktorokruhy, Vety o homomorfismu a izomorfismu, Cínská veta o zbytcích
- Gaussovo lemma, Gaussova veta a Hilbertova veta o bázi
Galoisova teorie
- rozširování homomorfismu do rozkladových nadteles a Galoisova grupa
- konstrukce a jednoznacnost alg. uzáveru
- stupen separability a separabilní rozšírení
- jednoduchá rozšírení, veta o primitivním prvku
- normální a Galoisova rozšírení
- hlavní veta Galoisovy teorie
- (ne)rešitelnost polynomu v radikálech
Úvod do algebraické geometrie
- Radikály
- Galoisova korespondence I,V, ireducibilita vs. prvoideály
- Hilbertova veta o nulách
Úvod do algebraické teorie císel
- Rešení diofantických rovnic rozkladem v císelných telesech
- Okruhy celistvých prvku a jejich základní vlastnost
- Jednoznacný rozklad ideálu
- Popis prvoideálu
Literatura
A. Drápal, Komutativní okruhy (skriptum).W. Fulton, Algebraic curves, online.
M. F. Atiah, I.G. Macdonald, Introduction to Commutative Algebra, Addison Wesley, 1969.
H. Matsumura, Commutative Ring Theory, W. A. Benjamin, 1970.
P. Samuel, O. Zariski, Commutative Algebra vol. I and II, Princeton, D. Van Nostrand Company, 1958, 1960.
R. Y. Sharp, Steps in Commutative Algebra (London Math. Society Student Text), Cambridge Univ. Press, 2nd ed., 2001.
L. Procházka a kol., Algebra. Academia, Praha 1990.
Úvod do analýzy na varietách
(2/2, Z+Zk, 3ZS, 5 ECTS)Anotace
Topologický prostor, baze otevřených množin, spojité zobrazení, homeomorfismus.Oddělovací axiómy, Hausdorffovy, regulární a normální prostory.
Kompaktní prostory, Tichonovova věta.
Multilineární zobrazení, tenzorová algebra vektorového prostoru, tensorový součin.
Kontravariantní a kovariantní tenzory. Symetrická algebra vektorového prostoru.
Grassmannova algebra vektorového prostoru. Zobrazení tenzorových algeber indukované lineárním zobrazením vektorových prostorů.
Hladká varieta, varieta s krajem, orientace variety, tečný a kotečný prostor variety. Hladká zobrazení mezi varietami, tečné a kotečné zobrazení, diferenciál funkce, vektorová pole a jejich integrální křivky, Lieova algebra vektorových polí.
Tenzorová pole na varietě, diferenciální formy, de Rhamův diferenciál, přenášení forem pomocí zobrazení. Rozklad jednotky, integrace forem přes orientované variety, obecná Stokesova věta. Integrace funkcí na Riemannově varietě, element objemu.
Algebra forem jako superalgebra, gradované derivace na algebře forem, kontrakce forem pomocí vektorových polí, Lieova derivace forem a její geometrická interpretace.
Cartanův vzorec a globální formulace de Rhamova diferenciálu.
De Rhamova kohomologie.
Distribuce na varietě, integrální podvariety distribucí, Frobeniova věta.
Literatura
Základní:L. Krump, V. Souček, J. Těšínský: Úvod do analýzy na varietách, skriptum, Karolinum, 2002.
O. Kowalski: Základy matematické analýzy na varietách, skriptum. Karolinum, 1975.
J. Kopáček a kol.: Příklady z analýzy pro fyziky, III, Matfyzpress, 1996.
Doporučená:
J. A. Thorpe: Elementary topics in differential geometry, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, 1979.
L. Conlon: Differentiable manifolds, Birkhauser, 2001.
P. M. Gadea, J. M. Masque, I. V. Mykytyuk: Analysis and algebra on differentiable manifolds, A workbook for students and teachers, Springer, 2013.