Podmínky zápočtu: Zápočet je za průběžnou aktivitu na cvičeních, s tím že nejsou striktně časově rozlišována cvičení a přednášky - máme je podle potřeby. Aktivita na cvičeních může být jak "z voleje", tak s domácí přípravou. Při nedostatečné aktivitě nebo větším počtu absencí budou zadány domácí úkoly jako kompenzace.
Literatura: V. Hlavatý, Projektivní geometrie I.
Přehled výuky:
| Datum | Téma |
|---|---|
| 30.9. | I. Úvod -- projektivní přímka a rovina. Úvod a motivace ke studiu projektivní geometrie. Základní pojmy a axiomy, princip duality. Vztahy mezi různými rovinnými geometriemi (euklidovská, afinní, projektivní). Afinní prostor -- definice, definice středu úsečky; afinní zobrazení, afinita; dělící poměr tří bodů na afinní přímce; Konstrukce zadaného dělícího poměru (na afinní přímce). Afinní zobrazení zachovává dělící poměr. Hodnoty dělícího poměru při permutacích tří bodů. Případy trojic, kdy některé hodnoty dvojpoměrů splývají: se dvěma splývajícími body, harmonická, ekvianharmonická. Definice: projektivní přímka RP1, geometrický bod a jeho aritmetický zástupce, homogenní souřadnice, kanonické vnoření afinní přímky do projektivní přímky, vlastní body a nevlastní bod. Slajdy 1 Video 1 |
| 7.10. | Definice: projektivní rovina RP2, geometrický a aritmetický bod, homogenní souřadnice bodu, kanonické vnoření afinní roviny do projektivní roviny, vlastní a nevlastní body, nevlastní přímka. Duální syntetické pojetí projektivní přímky: body na přímce vs. přímky ve svazku. Dvojpoměr (čtyř vektorů v rovině, čtyř bodů na proj. přímce). Věta o 4 determinantech. Vztah dvojpoměru čtyř vlastních bodů k dělícímu poměru: (ABCD)=(ABC)/(ABD). Je-li čtvrtý bod nevlastní, je dvojpoměr roven dělícímu poměru tří vlastních bodů: (ABCD)=(ABC). Hodnoty dvojpoměru při permutacích čtyř bodů. Harmonická čtveřice. Konstrukce čtvrtého harmonického bodu. DÚ: vyzkoušet si tuto konstrukci v GeoGebře. Slajdy 2 Video 2 |
| 14.10. | Konstrukce čtvrtého harmonického bodu + 2 důkazy ((1) výpočtem dvojpoměrů z projekcí, (2) projektivním trikem přes afinní konstrukci). Projektivní škála na přímce - (pro celočíselné body). Duální konstrukce projektivní škály a čtvrté harmonické přímky na svazku přímek. II. Projektivita a perspektivita lineárních soustav. Soustavy bodové, přímkové, sourodé, nesourodé, soumístné, nesoumístné. Definice (syntetická): perspektivita = projekce + duální verze, projektivita = složení perspektivit. (Složení perspektivit (sourodých soustav) není obecně perspektivita, nýbrž projektivita.) Definice (analytická): projektivní souřadný systém na přímce (PSS), projektivních souřadnice elementu vůči PSS. Vztah mezi homogenními souřadnicemi bodu X a hodnotou dvojpoměru (X 1 0 nek.). Projektivita je zobrazení násobením homogenních souřadnic bodu regulární maticí 2x2 určenou až na nenulový násobek. Projektivity jsou právě ta zobrazení, která zachovávají dvojpoměr. Jsou zadané třemi body a jejich obrazy. Perspektivita soustav sourodých nesoumístných je projektivita se samodružným elementem. Projektivita soustav nesourodých; ilustrace na obrázku konstrukce projektivní škály. Věta: sourodé nesoumístné soustavy jsou perspektivní právě když jsou perspektivní s nějakou nesourodou soustavou. Střed perspektivity, přímka perspektivity. Slajdy 3 Video 3 |
| 21.10. | Doplňování perspektivit. Věta o direkční přímce. Důsledky: Direkční přímka prochází obrazy průsečíku daných přímek. U perspektivních bodových soustav prochází direkční přímka průsečíkem daných přímek. Konstrukce: doplňování bodových projektivních soustav nesoumístných a soumístných. Konstrukce: spojení bodu s nepřístupným průsečíkem přímek. Pappova věta o šestiúhelníku. Duální věty a konstrukce ke všem uvedeným: Věta o direkčním bodu. Důsledky: direkčním bodem procházejí obrazy spojnice středů daných svazků. U perspektivních přímkových soustav leží direkční bod na spojnici daných bodů. Konstrukce: doplňování přímkových projektivních soustav nesoumístných a soumístných (DÚ). Konstrukce: průsečík přímky s nenarýsovanou spojnicí bodů (DÚ). Duální Pappova věta. Slajdy 4 Video 4 |
| 4.11. | Samodružné elementy S,T projektivity soumístných soustav. Věta o počtu samodružných elementů. Věta + Definice: Charakteristika projektivity w, w nezávísí na volbě bodu X. Souhlasné a nesouhlasné soustavy. Věta: pro S, T reálné je w>0 resp. <0 pro souhlasné resp. nesouhlasné soustavy. Konstrukce: doplňování projektivity dané dvěma samodr. body a jedním párem. Konstrukce: sestrojení druhého samodr. bodu projektivity dané jedním samodr. bodem a dvěma páry. Případ S=T. Konstrukce*: doplňování projektivity dané dvěma samodr. přímkami a jedním párem - samostudium. Konstrukce*: sestrojení druhé samodr. přímky projektivity dané jednou samodr. přímkou a dvěma páry - samostudium. Případ s=t. Definice involuce a věta o jejím ekvivalentním vyjádření. Involuce hyperbolická/eliptická, též degenerovaná parabolická. Hyperb. involuce = reálné samodr. body, nesouhlasné soustavy, eliptická involuce = imaginární samodr. body, souhlasné soustavy. Involuce je určena dvěma páry involuce. Tři různá párování čtyř bodů na přímce - 2x hyp. a 1x elipt. involuce. Konstrukce: sestrojit druhý samodružný bod involuce určené jedním samodr. bodem a jedním párem (je totožná s nalezením 4. harm. bodu). Konstrukce*: sestrojit druhou samodružnou přímku involuce určené jednou samodr. přímkou a jedním párem (je totožná s nalezením 4. harm. přímky) - samostudium. Slajdy 5 Video 5 |
| 11.11. | Věta (o bodu na direkční přímce): přímky z lib. bodu na direkční přímce projektivity nesoumístných soustav tvoří vždy páry involuce. Věta* (o přímce procházející direkčním bodem). Konstrukce: doplňování involuce dané dvěma páry involuce třemi způsoby (v bodové verzi, samostudium: v přímkové verzi). Úplný čtyřroh a čtyřstran, vrcholy, strany, diagonální vrcholy a strany. Věta: každá strana čtyřrohu je proťata ostatními stranami ve 4 bodech, které tvoří harm. čtveřici. Věta*: každý vrchol čtyřstranu je spojen s ostatními vrcholy 4 přímkami, které tvoří harm. čtveřici. Věta: na ostatních přímkách vytínají strany čtyřrohu tři páry téže involuce. Věta*: spojnice lib. bodu roviny s protějšími vrcholy čtyřstranu tvoří tři páry téže involuce. Konfigurace čtyřrohu je totožná s konstrukcí 4. harm. bodu; konfigurace čtyřstranu je totožná s konstrukcí 4. harm. přímky. III. Kuželosečky. Bodová kčka B, singulární a regulární. Slajdy 6 Video 6/1 Video 6/2 |
| 18.11. | Sečna, tečna, vnější přímka. Pozorování: Bodem H resp. H' prochází jediná tečna, jejich průsečík je direkčním bodem dané projektivity. Věta: libovolné dva různé body mohu hrát roli středů svazků H, H'. Důsledek: (1) body H, H' nejsou nijak význačné, (2) každým bodem kčky prochází jediná tečna, (3) kčka je určena pěti body. Konstrukce: nalezení dalšího bodu kčky při zadání pěti body. Věta: Bodová kčka je určena 5 podmínkami, tj. buď 5 body nebo 4 body + tečnou v 1 bodě nebo 3 body + tečnami ve 2 bodech. Příslušné konstrukce + konstrukce tečny v 1 bodě při zadání kčky 5 body. DÚ: Vykreslit kčku z 5 bodů (5+15 bodů). Bodové soustavy na bodové kčce, soumístné/nesoumístné, jejich projektivita. Věta o direkční přímce projektivity na kčce. Konstrukce: doplňování projektivity na bodové kčce. Involuce na kčce. Věta o involuci na kčce (tj. o středu involuce, ose involuce, samodružných bodech a tečnách). Pozorování: involuce je hyp/elipt právě když její osa je sečna/vnější přímka, definice vnějšího a vnitřního bodu kčky. Slajdy 7 Video 7 |
| 25.11. | Parabolická involuce = střed leží na kčce, osa je tečna. Věty A,B,C,D o involucích a harmonických čtveřicích. Konstrukce tečny v bodě kčky (jsou-li zadány další dva body a tečny v nich) jakožto čtvrté harmonické přímky. Tečnová kuželosečka T, singulární a regulární. Body vně, body dotyku, body uvnitř T. Věta: na každé tečně leží jediný bod dotyku. Věta: T je určena 5 podmínkami, tj. buď 5 tečnami nebo 4 tečnami s 1 bodem dotyku nebo 3 tečnami s 2 body dotyku. Příslušné konstrukce kčky T + konstrukce bodu dotyku, je-li zadáno 5 tečen. Kvadratické tečnové soustavy na T, soumístné/nesoumístné, jejich projektivita. Duální věta o projektivitě tečnových soustav (direkční bod). Involuce tečnových soustav: duální zavedení k involuci bodových soustav na B, duální věty, osa a střed involuce. Věta: množina dotykových bodů T je B, množina tečen B je T, tj. pojem bodové a tečnové kčky splývá do jednoho. Věta D*: "(MNAC)=-1". Konstrukce* bodu dotyku na zadané tečně (jsou-li zadány další dvě tečny body a jejich dotykové body) jakožto čtvrtého harmonického bodu. Slajdy 8 Video 8 |
| 2.12. | Afinní rovina, rovnoběžnost a střed úsečky. Konstrukce: nalezení středu úsečky v afinní rovině (tj. pomocí rovnoběžnosti). Rozdělení regulárních kček v afinní rovině: elipsa E, parabola P, hyperbola H. Asymptoty, střed (směr osy), průměr kčky; středové a osové kčky. Věta: střed E/H půlí každý její průměr. Věta: spojnice středů rovnoběžných spojnic bodů prochází středem kčky. Konstrukce: sestrojení středu středové kčky dané 5 body. Věta: spojnice bodů dotyku rovnoběžných tečen E/H je průměrem. Věta: P nemá dvě rovnoběžné tečny. Věta: vnější bod, střed úsečky dané body dotyku tečen a střed kčky jsou kolineární. Konstrukce: sestrojení středu středové kčky dané 5 tečnami. Hyperbola - speciální vlastnosti a konstrukce (vždy včetně asymptot a středu). Konstrukce: sestrojení H, jsou-li dány 3 body a oba směry asymptot; sestrojení H, jsou-li dány obě asymptoty a 1 bod. Věta: 1) H a její asymptoty vytínají na libovolné sečně stejně dlouhé úsečky; 2) "tečna c je rovnoběžná s C1C2 a C je střed A0B0". Slajdy 9 Video 9 |
| 9.12. | Konstrukce za použití předchozí věty: sestrojení H včetně asymptot a středu, je-li dáno: a) 4 body a 1 směr asymptoty, b) 3 body + 1 asymptota, c) 1 asymptota + 3 tečny. Parabola - speciální vlasnosti a konstrukce. Věta: P je určena 4 tečnami, všechny průměry P jsou rovnoběžné, nemá rovnoběžé tečny. Konstrukce: sestrojit P ze 4 tečen a přitom sestrojit směr průměrů (=směr osy) P; parabola ze 3 bodů + 1 tečny; parabola ze 3 bodů a směru osy. Konstrukce: k parabole, dané 4 tečnami, sestrojit tečnu s daným směrem. Zavedení kružnice, známe-li pojem kolmosti. Kolmost = kružnice = přenos vzdáleností (na nerovnoběžky) = půlení úhlu. Absolutní involuce, izotropické přímky a body, kružnice = elipsa, jejíž asymptoty jsou izotr. přímky. Kružnice je určena 3 body (podmínkami). Konstrukce: kružnice ze 3 bodů (tj. bez kružítka); kružnice z tečny s bodem dotyku a jednoho dalšího bodu; kružnice ze dvou tečen a 1 bodu dotyku; kružnice ze tří tečen -- pomocí půlení úhlu. Použití kružítka. Konstrukce: vedení tečen ke kružnici z vnějšího bodu pomocí Thaletovy kružnice. Slajdy 10 Video 10 |
| 16.12. | Konstrukce: sestrojení samodružných bodů soumístných bodových soustav na přímce (s použitím pomocné kružnice). Duální konstrukce: sestrojení samodružných přímek soumístných přímkových soustav. Konstrukce: určit průsečíky přímky s kčkou danou 5 body. Duální konstrukce: Určit tečny z bodu R ke kčce dané 5 tečnami. Konstrukce: sestrojit asymptoty kčky (hyperboly), dané 5 body. Pascalova věta, Pascalova přímka. Konstrukce: kčka dána 5 body, přímka x prochází jedním z nich, najít (pomocí Pascalovy věty) druhý průsečík kčky a x. Konstrukce: kčka dána 5 body, sestrojit v jednom z nich tečnu (pomocí Pascalovy věty). Konstrukce: sestrojit (pomocí Pascalovy věty) tečnu v bodě kčky, dané tímto bodem a dvěma dalšími body a tečnami v nich. Duálně - Brianchonova věta, Brianchonův bod. Samostudium: [Konstrukce: kčka dána 5 tečnami, bod X leží na jedné z nich, najít (pomocí Brianchonovy věty) druhou tečnu kčky z bodu X. Konstrukce: kčka dána 5 tečnami, sestrojit (pomocí Brianchonovy věty) bod dotyku na jedné z nich. Konstrukce: sestrojit (pomocí Brianchonovy věty) body dotyku na tečně kčky, dané touto tečnou a dvěma dalšími tečnami s body dotyku.]
Slajdy 11 Video 11/1 Video 11/2 |
| 6.1. | Pól a polára. Definice pomocí involuce na kčce. Věta: "(AA'RP)=(aa'rp)=-1". Věta: polára je spojnicí bodů dotyku tečen z pólu ke kčce; pól je průsečík tečen v průsečících poláry s kčkou. Konstrukce: kčka dána pěti body, dán bod P, sestrojit jeho poláru vzhledem ke kčce; duálně. Věta: Pól a polára jsou dvě podmínky pro kčku. Konstrukce: sestrojit kčku z pólu P, poláry p a tří bodů A,B,C; duálně: sestrojit kčku z P,p,a,b,c. Věta: kčce je vepsán čtyřroh, pak každý jeho diag. vrchol je pólem protější diag. strany; duálně pro opsaný čtyřstran. Věta: P pól p, Q pól q, pak P leží na q právě když Q leží na p. Definice: takovéto póly resp. poláry se nazývají (polárně) sdružené. P,Q,R resp. p,q,r, které jsou všechny navzájem sdružené, tvoří polární trojúhelník. Důsledek: polára r průsečíku R přímek p,q je spojnicí pólů P,Q a naopak pól R spojnice r pólů P,Q je průsečíkem polár p,q. Věta: Polární trojúhelník je diag. trojúhelníkem vepsaného čtyřrohu. Věta*: Polární trojúhelník je diag. trojúhelníkem opsaného čtyřstranu. Věta: dva sdružené póly (resp. dvě sdružené poláry) tvoří jednu podmínku pro kčku. Věta: Polární trojúhelník tvoří tři podmínky pro kčku. Věta: V polárním trojúhelníku je vždy jeden vrchol vnitřní a dva vnější; jedna strana je vnější a dvě jsou sečny. Konstrukce: sestrojit kčku z pol. trojúhelníka a dvou bodů, duálně: z pol. trojúhelníka a dvou tečen. Pozn.: (v afinní rovině) polára středu kčky je nevlastní přímka, polára nevlastního bodu je průměr kčky. Slajdy 12 Video 12 |