Matematicka analyza pro fyziky II

• Kapitola 1. Rady
  • 0. Posloupnosti: policiste, limitni prechod, monotonni ma limitu, Bolzanova-Weiestrassova o vybrane, Bolzanova-Cauchyova (o uplnosti R/C).
  • 1. Rady: nutna podm. konvergence, Bolzanova-Cauchyova veta pro rady
  • 2. Absolutni konvergence: kriteria srovnavaci a podilove srovnavaci, d'Alemebertovo podilove, Cauchyovo odmocninove, integralni, Raabeovo
  • 3. Neabsolutni konvergence: Abelovo lemma, Abelovo-Dirichletovo kriterium, Leibnizovo kriterium, spocetnost mnoziny, prerovnavani rad, souciny rad
  • 4. Mocninne rady: definice, liminf, limsup, polomer konvergence; exponenciala - defince, definicni obor, invertovatelnost (homomorfizmus grup); derivace a integrace mocninnych rad, Abelova veta o konvergenci na hranici kruhu konvergence (bez dukazu)
• Kapitola 2. Metricke prostory
  • 1. Definice metrickeho prostoru, priklady (Q, R, R^n, ro_k, sup norma na C^0([a,b]), diskretni metrika), definice normovaneho vektoroveho prostoru, priklady (indukovana norma)
  • 2. Otevrena a uzavrena mnozina, zakladni vlastnosti, spojitost, Heineova veta - ekv. formulace spojitosti; axiom vyberu (porozumeni a popularne priklady pro i proti nemu)
  • 3. Cauchyovska posloupnost, uplnost; priklady: R vs Q
  • 4. Banachova veta. Definice kompaktnosti a vlastnosti spojitych funkci na kompaktnich mnozinach (bez dukazu) - viz ale vice promennych
• Kapitola 3. Obycejne diferencialni rovnice
  • 1. Reseni obycejne dif. rovnice, resp. reseni prochazejici bodem, veta Picard-Lindeleoffova a Cauchyova
  • 2. Separovane, primo integrovatelne, linearni prvniho radu (dukaz pomoci int. faktoru)
  • 3. Wronskeho matice, wronskian, linearni zavislost funkci (nad R/C), fundamentalni system reseni obycejne lin. diferencialni rovnice
  • 4. Afinni - reseni variaci konstant pomoci Wronskeho matice ze znalosti fundamentalniho systemu
  • 5. Linearni s konst. koeficienty, fundamentalni system
  • 6. Eulerovy - fundamentalni system
  • 7. Prevody na probrane typy - zejmena homogenni
  • 8. Soustavy - exponenciala matice
• Kapitola 4. Diferencialni pocet funkci vice promennych
  • 1. Limita, parcialni derivace, derivace ve smeru, totalni diferencial
  • 2. Veta o derivaci slozene funkce; gradient, divergence, Laplace
  • 3. Extremy funkci vice promennych
  • 4. Veta o inverznich a implicitnich funkcich, Jacobiho matice a jacobian
  • 5. Prevody operatoru pomoci zmeny sourdnic - uvidime ve ctvrtek. Na predterminu nebude. Na predterminu nebudou.

• [1] Zapisky prednasek
• [2] J. Kopacek, Matematiky pro fyziky II, Matfyzpress, Praha, lib. rok
• [3] Skripta prof. V. Soucka a kol. Matematicka analyza 2 , zapisky z r. 1996/97, pozor jde o pracovni text psany studenty - obcas nepresnosti
• [4] J. Kopacek, Priklady z matematiky pro fyziky I, II, Matfyzpress, Praha, lib. rok
• [5] V. Jarnik, Diferencialni pocet I, Academia, Praha, lib. rok, velmi presne - hlubsi vhled
• [6] V. Jarnik, Diferencialni pocet II, Academia, Praha, lib. rok, velmi presne - dtto
• [7] Skripta prof. W. Soergela , Univ. Freiburg
• [8] Pro prehlednost, jasnost a do jiste miry i ilustrativnost - ucebnice z techn. kniz. inzenyra.

Publikace [2] a [4] si lze vypujcit v pujcovne skript v Troji a v knihovnach MFF na Karlove nebo v Karline, event. je lze zakoupit v prodejnach skript MFF (Karlin, Mala Strana - byv. "Erudio"). Publikace [5] a [6] k prezencnimu v Troji, Karline i Karlove. Jsou k dispozici i absencne, asi ale jen na Karline a Karlove.

• Rady
  • Posloupnost, limita, konverguje, vybrana posloupnost, rada konverguje, diverguje, osciluje, castecny soucet rady, absolutni konvergence, neabsolutni konvergence
  • Prerovnani rady, spocetna mnozina, nespocetna mnozina; mocninna rada, limes inferior, limes superior, polomer konveregence, exponenciala, sinus, cosinus, logaritmus
• Metricke prostory
  • Metricky prostor, metrika, normovany prostor, norma, diskretni metricky prostor, otevrena, uzavrena, kompaktni mnozina, vnitrek, uzaver, hranice, spojitost, cauchyovskost, kontrakce, vnitek, uzaver, hranice, Heineho charakterizace limity
  • kontrakce
• Obycejne diferencialni rovnice
• Reseni ODR, ODR n-teho radu, ODR resene vzhledem k derivaci, pocatecni podminky, maximalni reseni, reseni prochazejici bodem, lokalni jednoznacnost, globalni jednoznacnost, lokalne lipschitzovska funkce, linearni ODR prvniho radu s pravou stranou, ODR prvniho radu se separovanymi promennymi
• system ODR, fundamentalni system, wronskian, Wronskeho matice, linearni zavislost funkci
• prevody rovnic vyssiho radu na soustavu prveho radu, afinni ("linearni"), asociovana linearni ("homogenni") rovnice, charkteristicka rovnice/polynom, variace konstant, rovnice s konst. koeficienty
• Eulerova rovnice, vyjmenovane typy rovnic prveditelne na probirane (tj. substituce), exponenciala matice
• Funkce vice realnych promennych
• Ekvivalence norem R^n (dusledky pro metricke prostory s metrikami indukovanymi temito normami, tj. nezavislost pojmu limity), souvislost limity vice hodnotove funkce a limit jendotlivych slozek hodnot
• Parcialni derivace, totalni diferencial
• Gradient, Divergence, Derivace ve smeru, Laplaceuv operator
• Veta o implicitne zadane funkci, Jacobiho matice, jacobian
• Extremu na otevrene mnozine, extremy na utvarech zadanych rovnici/vazbami (na cviceni jste asi rikali: vzhledem k uzavrene mnozine), vazba, Hessova matice, hessian, Lagrangeuv multiplikator

• L 1.1 souvislost limity funkce a limity posloupnosti, !V 1.2 veta o straznicich, !V 1.3 monotonni ma limitu, !!V 1.4 Bolzano-Weiestrass (o vybrane), !V 1.5 Bolzano-Cauchy, V 1. 6 Nutna pro rady, V 1.7 Bolzano-Cauchy pro rady, V 1.8 Absolutni k. => konvergenci, !V 1.9. Srovnavaci a srovnavaci podilove, V 1.10. Cauchyho odmocninove, V 1.11 d'Alembertovo podilove, V 1.10, V 1.11 limitni verze, !V 1.12 integralni, !!V 1.14 Raabeho, !V 1.15 Abelovo lemma, !!V 1.16 Abel-Dirichlet, V 1.17 Leibniz, !V 1.18 o konvergenci prerovnane rady (dukaz nezkousim), V o libovolnosti souctu neabsolutne konvergentni rady, !V 1.19 soucin absolutne konv. rady, Existence a vlastnosti exponenicaly - "strukturovany" retezec uvah, znat i teoreticky; zvlaste schopnost formulovat a dokazt to, ze exponecniala je homomorfizmus grupy C (s +) a C\{0} (s .), !V 1.20 o polomeru konvergence; v poznamce za touto vetou je dalsi vzorecek - jeho dukaz byl za domaci ulohu (jde o analog. dukaz k dukazu vety o vzorecku pro R pomoci limsup, jen zde jiz existenci limity predpokladame), !!V 2. 21 o derivaci mocninnych rad, !V 2.22 primitivni funkce mocninne rady, !Unicita exponencialy mezi funkcemi, ktere jsou mocninnou radou, !L 1.23 Abelova veta (bez dk.), L 2.24 vlastnostni normy indukovane metrikou, !V 2.25 vlastnosti otevrenych mnozin, !V 2.26 vlastnosti uzavrenych mocnin, !V 2.27 Heineho veta v metrickych prostorech, !!V 2.28 Banachova veta o kontrakci, !!V 3.29 Peanova o existenci reseni ("presny" dukaz nebyl, tj. dukaz nezkousim), !!V 3.30 Picard-Lindeloefova o lokalni jednoznacnosti ("presny" dukaz nebyl, tj. dukaz nezkousim), !L 3.31 o rovnici y'=f, !V 3.32 o rovnici v separovanem tvaru, !V 3.33 o napojovani, !V 3.34 linearni rovnice prvniho radu s pravou stranou (=afinni prvniho radu, "metoda int. faktoru"), !V 3.35 prevod n-teho radu na linearni system n rovnic prvniho radu, !V 3.35' obraceni implikace ve V 3.35, !!V 3.36 globalni existence a jednoznacnost reseni linearni ODR s pravou stranou (afinni rovnice, bez dukazu), !V 3.37 charakterizace reseni hom. lin. rce je v.p., !V 3.38 (afinni) prostor reseni rovnice s pravou stranou, V 3.39 l.z => W=0, !V 3.40 jiste obraceni V3.39, !!V 3.41 o variaci konstant, L 3.42 o char. polynomu, !!V 3.43 fundamentalni system rovnice n-teho radu, V 3.44 fundementalni system Eulerovy rce, Reseni systemu pomoci exponencialy matice (znat pocetne), V o ekvivalenci norem na R^n (bez dukazu), V 4.45 Veta o stredni hodnote pro vice promennych (dukaz nezkousim), !V 4.46 t.d => fce je sp. + p.d., !V 4.47 spoj. p. d. => tot. dif (=> f je spoj.), !L 4.48 ekvivalentni definice t.d., !!V 4.49 derivace slozene funkce/t.d. slozene funkce, !! V 4.50 o implicitnich funkcich (pomoci ryzi monotonie), !V 4.51 o implicitnich funkcich (pomoci derivace dle vyjadrovane funkce), !! V 4.52 o implicitnich funkcich pomoci jakobianu (bez dk, byl jen nastin pomoci generickeho protinani a ukazka pro linearni rovnice), ! V 4.53 Extrem funkce vice promennych na otevrene mnozine (nutna. p.), !! V 4.54 Extrem fce vice promennych na otevrene mnozine (post. p., dukaz nebyl, byla jen idea, nastin - je dobre tomu vsak rozumet, neb se mohu v teorii ptat na obraceni teto post. podm. apod.), !! V 4.55 Extrem na uzavrene mnozine, dane soustavou rovnic - viz formulace v Priklady II Kopacek (nekdyz zvana veta o Lagr. multplikatorech; formulace nutne i post. podm.) - vetu nezkousim v teorii; zkousim ji v ramci pocitani - predevsim nutnou podminku, tj. bez bez nutnosti zadavani vazby do Hessovy matice; na cviceni jste nutnou, a nekde i post., podm. procvicovali. K vetam 4.50 - 4.55: ve vetach jsem nikde neuvadeli vzorecek, pomoci nejz se derivace implicitne zadane funkce spoctou; vzdy jsem jen precizovali "lokalnost" implicitne zadane funkce a to, jak se diferencovatelnost funkce F dedi/"prenasi" na funkci implicitne zadanou. Nicmene, vime-li jiz o tomto prenosu, plyne vzorecek pro derivaci snadno derivovanim vztahu F(x^1,...,x^m,f(x^1,...,x^m))=0 dle x^i a vety o derivaci slozene funkce. Jde tedy o snadny dusldek. (To jste pouzivali na cviceni.)
• Definice posloupnosti, definice limity posloupnosti, posloupnost konverguje = limita existuje, rada konverguje, diverguje, osciluje, D 1.6 rada konverguje absolutne, rada konverguje D 1.8 neabsolutne, D 1.9 spocetna mnozina, D 1.10 rada prerovnana, D 1.11 soucin rad, D 1.12 mocninna rada, D 1.13 limes superior a inferior, D 1.14 derivace funkce komplexni promenne (s kompl. hodnotami), D 1.15 definice sin z, cos z pro komplexni z a nad tim definice exp z, 1.16 metricky prostor, D 2.17 normovany prostor, D 2.21 uzaver, vnitrek, hranice, D 2.22 kompaktni podmnozina metrickeho prostoru, D 3.22 ODR, reseni ODR, D 3.24 reseni prochazejici bodem, D 3.25 lokalne lipschitzovska, 3.26 rce se separovanymi promennymi, 3.27 (afinni) linearni ODR prveho radu, 3.28 Bernoulliho rovnice, 3. 29 System ODR, 3.30 linearni n-teho radu s pravou stranou (afinni), 3.31 wronskian = Wronskeho determinant, Wronskeho matice, 3.32 linearni zavislost (funkci), D 3.33 fundemantalni system reseni linearni (homogenni) rovnice, D 3.34 charakt. polynom rovnice, D 3.35 Eulerova rovnice, Exponenciala matice, D 4.36 parcialni derivace, D 4.37 totalni diferencial v bode, Odtud muze byt cislovani neodpovidajici tomu na prednasce D 4.38 Jacobiho matice (muze byt obdelnikova) jacobian; multiindex, rad a delka multiindexu, Hessova matice (z parcialnich derivaci 2. radu).