logo Klasická teorie PDR pro 3.ročník (DIR005)

Přednášející: M. Rokyta, KMA


Sylabus

1. Úvod

2. Věta Cauchyova-Kowalevské

3. Laplaceova a Poissonova rovnice

4. Evoluční rovnice

Zkoušky

Zkouška je pouze ústní, připuštění k ní je však závislé na udělení zápočtu od doc. Johna (na který je potřeba napsat písemku). Každý dostane u zkoušky dvě otázky. Ti, kteří, napíší písemku obzvláště výborně (dle posouzení doc. Johna), vybere si z nich jednu, kterou zodpoví. Ostatní budou odpovídat na obě.

Literatura

K této přednášce (i k přednášce z moderní teorie PDR) právě vznikají skripta. Stav jejich rozpracovanosti včetně úryvků textu můžete sledovat na této stránce. Z další literatury doporučuji zejména skriptum John-Nečas a knihu Renardy-Rogers.
  1. E.DiBenedetto: Partial Differential Equations. Birkhauser, 1995.
  2. P.Doktor, O.John, J.Kopáček: Příklady z matematické analýzy VI, parciální diferenciální rovnice. Skriptum MFF UK, SPN, Praha, 1983.
  3. L.C.Evans: Partial differential equations. AMS, Providence, 1998.
  4. O.John, J.Nečas: Rovnice matematické fyziky. Skriptum MFF UK, SPN, Praha, 1977.
  5. M.Renardy, R.C.Rogers: An Introduction to Partial Differential Equations. Springer-Verlag, New York, 1993.

Zkouškové požadavky

Je-li někde použito obratu "eventuelně", znamená to, že příslušná neznalost nebude mít fatální důsledky na výslednou známku.

  1. Cauchyova úloha pro kvazilineární PDR 1. řádu: def. klasického řešení Cauchyova problému, definice charakteristiky. Metoda charakteristik pro nulovou pravou stranu - formulujte příslušná lemmata, ukažte na jednoduchém příkladě. Eventuelně diskutujte nenulovou pravou stranu.
  2. Věta Cauchyova-Kowalevské: definice reálně analytické funkce, formulace věty C-K, důkaz metodou majorizace - ukažte hlavní kroky důkazu. Lewyho protipříklad. Diskutujte zobecnění C-K věty pro závislost koeficientů na čase, resp. pro nenulové poč. podmínky. Ilustrujte na příkladě možná zobecnění C-K věty pro rovnice vyššího řádu.
  3. Definujte charakteristický směr a plochu pro lineární rovnici k-tého řádu (naznačte, čím je tato definice motivovaná).
  4. Definujte eliptickou, hyperbolickou, parabolickou rovnici druhého řádu (v bodě), uveďte typické představitele (Poissonova, vlnová, vedení tepla - bez odvozování těchto rovnic).
  5. Definujte harmonickou funkci na omezené oblasti, na doplňku omezené oblasti.
  6. Odvoďte větu o třech potenciálech v dimenzi 3, ukažte, jak z ní plyne nekonečná diferencovatelnost harmonické funkce na omezené oblasti.
  7. Dokažte větu o Poissonově integrálu (řešení Dirichletovy úlohy na kouli) (eventuelně diskutujte myšlenku odvození přes kruhovou inverzi).
  8. Dokažte větu o střední hodnotě a obrácenou větu o střední hodnotě pro harmonické funkce.
  9. Dokažte slabý a silný princip maxima pro harmonické funkce. Formulujte (eventuelně dokažte) jeho zobecnění na eliptické rovnice. Jednoznačnost řešení jako důsledek.
  10. Dokažte větu o odstranitelné singularitě.
  11. Dokažte větu Liouvilleovu, věty Harnackovy.
  12. Konstrukce řešení Dirichletovy úlohy na omezené oblasti Perronovou metodou: uveďte hlavní body konstrukce, definujte příslušné pojmy a bez důkazů jejich základní vlastnosti, vysvětlete úlohu bariéry při nabývání hraniční podmínky.
  13. Dokažte větu o řešení Cauchovy úlohy pro rovnici vedení tepla. Dokažte slabý princip maxima pro rovnici vedení tepla - omezená (dokázat) a neomezená (formulovat, diskutovat) oblast.
  14. Dokažte větu o jednoznačnosti pro vlnovou rovnici, napište její řešení (bez důkazů) v prostorech různé dimenze.

back