Prednaska z matematiky pro fyziky

[MA pro F, 1. ročník, ZS 2003/2004, M.Rokyta]

Sylabus přednášky MAF033

Místo a čas konání: Středa, 14:00, T2 Čtvrtek, 10:40, T2

Text na této stránce zachycuje skutečný stav toho, co se odpřednášelo. Zkouškové požadavky z tohoto sylabu plynoucí najdete na jiné stránce, obecné povídání o zkouškách na ještě jiné stránce.

0. Úvodní poznámky

Množiny a výroky, kvantifikátory - opakování značení. Co je definice, věta, důkaz.

1. Čísla a zobrazení

1.1. Číselné množiny
Čísla přirozená: N. Prvočísla. Prvočísel je nekonečně mnoho. Čísla celá: Z. Čísla racionální: Q . Odmocnina ze dvou není racionální - důkaz sporem. Odmocniny přirozených čísel jsou buď celé nebo už nejsou racionální. Náznak vybudování reálných čísel R: metoda Dedekindových řezů nebo metoda dekadických rozvojů nebo axiomaticky. Charakterizace racionálních čísel pomocí dekadických rozvojů. Čísla komplexní: C, jejich zápis algebraický, geometrický, exponenciální. Zmínka o komplexní exponenciele.

1.2. Axiom o supremu
Množina omezená. Supremum a infimum. Axiom o supremu. Axiomatika reálných čísel. Shrnutí různých způsobů vybudování reálných čísel. Doplnění definic suprema a infima pro prázdnou a neomezené množiny.

1.3. Zobrazení; spočetnost
Zobrazení, definiční obor, obor hodnot. Prosté zobrazení (injekce), zobrazení "na" (surjekce), vzájemně jednoznačné zobrazení (bijekce). Inverzní zobrazení. Spočetnost a nespočetnost. N, Z, Q jsou spočetné, R, C jsou nespočetné. Cantorova diagonální metoda důkazu nespočetnosti intervalu (0,1).

2. Posloupnosti

Reálná a komplexní posloupnost. Příklady: aritmetická, geometrická posloupnost. Posloupnost zadaná explicitně, implicitně, rekurentně. Monotonní posloupnosti, omezené posloupnosti.

2.1. Limita posloupnosti
Definice limity vlastní i nevlastní, diskuse o epsilonech a indexech n₀. Konvergentní a divergentní posloupnost. Konvergentní posloupnost je omezená. Aritmetika vlastních limit. Zavedení nevlastních bodů a počítání s nimi. Neurčité výrazy. Aritmetika nevlastních limit. Příklady. Bernoulliho nerovnost. Limita "k nule konvergentní krát omezená posloupnost". Limita absolutní hodnoty. Věta o policajtech. Příklady základních limit: n-tá mocnina z a, n-tá odmocnina z a, n-tá odmocnina z n. Nerovnosti v limitě.

2.2. Monotonní posloupnosti
Každá monotonní posloupnost má limitu, je-li omezená, pak vlastní. Příklady, jak to pomůže při výpočtu některých limit. Limitní přechod v rekurentním vztahu. A-G nerovnost. Posloupnosti, konvergující k e, definice čísla e. Číslo e jako součet převrácených hodnot faktoriálů, důsledek: e je iracionální. Nerovnosti s logaritmy, některé příklady. Harmonická řada má nekonečný součet. Růstové limity s mocninami a faktoriály. Stirlingova formule.

2.3. Podposloupnosti
Podposloupnost (vybraná posloupnost). Bolzano-Weierstrassova věta (z každé omezené posloupnosti lze vybrat konvergentní podposloupnost). Důkaz metodou "lev na poušti". Pojem hromadného bodu. Množina hromadných bodů omezené posloupnosti je vždy neprázdná a omezená. Její supremum se nazývá limes superior a infimum limes inferior dané posloupnosti. Limita posloupnosti existuje právě tehdy, když množina hromadných bodů je jednobodová, což je právě tehdy, když lim inf a_n= lim sup a_n. Počítání lim sup jako limity jistých suprem a podobně lim inf.

2.4. Cauchyovskost
Bolzano-Cauchyova podmínka. Posloupnost v R je konvergentní pravě tehdy, když je cauchyovská. Úvahy: ekvivalentní tvrzení k axiomu o supremu, v nekonečně dimenzionálním prostoru tento axiom či jeho verze neplatí.

3. Reálné funkce reálné proměnné

Funkce je zobrazení mezi číselnými množinami. Opakování: už víme, co je definiční, obor, obor hodnot, prostota, atd., viz kapitola o zobrazeních.

3.1. Základní vlastnosti reálných funkcí reálné proměnné
Základní pojmy: funkce rostoucí, klesající, nerostoucí, neklesající, je vždy potřeba říct kde. Existují nerovností neporovnatelné funkce. Sudost, lichost, periodicita. Ryze monotónní funkce je prostá, nikoli naopak.

3.2. Vlastní limita ve vlastním bodě
Okolí bodu, plné a redukované. Definice limity pomocí nerovností a pomocí okolí. Lokálnost pojmu limity. Limita a funkční hodnota nemají nic společného. Jednostrané limity. Funkce, mající vlastní limitu ve vlastním bodě je lokálně omezená. Heineho věta: ekvivaletní definice limity. Věta o aritmetice limit a jejich důkazy pomocí Heineho věty s odkazem na vědomosti získané u posloupností. Limita "funkce s nulovou limitou krát lokálně omezená funkce". Limita absolutní hodnoty. Věta o policajtech. Vše platí i pro jednostranné limity.

3.3. Spojitost funkce v bodě
Definice pomocí okolí. Spojitost v bodě = existuje limita, rovná funkční hodnotě. Heineho věta pro spojitost v bodě. Spojitost zleva a zprava, souvislost s příslušnými limitami. Spojitost na intervalu (v krajních bodech jednostranná). Spojitá funkce je lokálně omezená. Limita složené funkce a diskuse obtíží s tím spojených. Předběhnutí po početní praxi: základní limity pro funkce sin, cos, exp, ln. Spojitost součtu, rozdílu, součinu, podílu spojitých funkcí. Spojitost složené funkce.

3.4. Nevlastní limity a limity v nevlastních bodech
Nevlastní limita ve vlastním bodě, okolí bodu nekonečno, limity v nevlastních bodech. Aritmetika těchto limit. Souvislost mezi limitou posloupnosti f(n) a funkce f(x) v nekonečnu. Limita f(x) v plus nekonečnu a f(1/x) v nule zprava, podobně pro záporné hodnoty. Limity typu "1/0" pro funkce, neměnící znaménko na okolí.

3.5. Elementární funkce
Elementární a neelementární funkce. Několik poznámek o polynomech: řešitelnost polynomů do stupně 4 včetně a obecná neřešitelnost dále. Cardano. Nalezení všech racionáoních kořenů polynomu s celočíselnými koeficienty. Nutnost zavedení funkce sin jinak než "z jednotkového kruhu": výčet vlastností sinu, které jej jednoznačně charakterizují. Další goniometrické funkce, k nim inverzní, jejich různé vlastnosti. Zavedení funkce ln, její vlastnosti. Zavedení funkce exp, její vlastnosti. Obecná mocnina a obecný logaritmus. Ukázání, že e=exp(1) a že e^x=exp(x). Hyperbolické funkce a funkce k nim inverzní. Neurčité výrazy v mocnině a limity z nich.

4. Derivace

4.1. Derivace funkce v bodě
Derivace a její definice limitou, jednostranné derivace. Vlastní a nevlastní derivace. Tabulka derivací elementárních funkcí. Derivace funkce sign, |x|.

4.2. Základní vlastnosti derivace
Vztah mezi derivací a spojitostí. Derivace součtu, součinu, podílu funkcí. Některé příklady na mechanické derivování. derivace složené funkce a zádrhele s tím spojení. L'Hospitalovo pravidlo (bez důkazu zatím). Derivace inverzní funkce. Diferenciál. Vyšší derivace, Leibnizův vzorec pro vyšší derivace součinu funkcí. Taylorův polynom a malé o (zatím bez důkazu).

5. Primitivní funkce

5.1. Definice a základní vlastnosti
Primitivní funkce na otevřeném intervalu a na sjednocení takových. Rovnost až na konstantu (konstanty). Struktura množiny primitivních funkcí, tabulka základních primitivních funkcí. Každá primitivní funkce je spojitá, každá spojitá funkce má primitivní funkci. Integrace per partes, dvě věty o substituci a jak se liší.

5.2. Integrace racionálních funkcí
Integrály z lineárního dvojčlenu ve jmenovateli, v libovolné mocnině, integrály z kvadratického trojčlenu ve jmenovateli (který nemá reálné kořeny), v libovolné mocnině, eventuelně i s lineárním dvojčlenem v čitateli. Ostrogradského formule. Integrace racionální fuknce: vydělení se zbytkem, rozklad jmenovatele na kořenové činitele, rozklad racionální funkce na parciální zlomky, integrace těchto. Různé metody zjišťování neurčitých koeficientů: dosazování kořenů i jiných bodů, dosazování do derivací, porovnávání koeficientů u stejných mocnin.

5.3. Speciální substituce
Lineární lomená funkce pod odmocnnou, kvadratický trojčlen pod odmocninou: Eulerovsky i pomocí inverzních goniometrických i hyperbolických funkcí (pozor na definiční obory). Goniometrické substituce: sin x, cos x, tg x, tg x/2.

6. Hlubší vlastnosti spojitých a diferencovatelných funkcí

6.1. Vlastnosti spojitých funkcí
Spojitá funkce na uzavřeném intervalu je omezená. Spojitá funkce na uzavřeném intervalu nabývá svého maxima a minima. Věta o nabývání mezihodnot (o řešení rovnic): spojitá funkce na uzavřeném intervalu [a,b] nabývá všech mezihodnot mezi f(a) a f(b). Spojitý obraz libovolného intervalu je zase interval, přičemž obraz uzavřeného intervalu je uzavřený interval a v ostatních případech se typ intervalu nemusí zachovávat. Spojitost a stejnoměrná spojitost. Spojitá funkce na uzavřeném intervalu je stejnoměrně spojitá.

6.2. Věty o střední hodnotě a důsledky
Věta Rolleova, věta Lagrangeova, věta Cauchyova. Důsledky: pokud existuje v bodě extému derivace, je nulová; spojitá funkce se všude nenulovou derivací je prostá; souvislost monotonie funkce a znaménka derivace; L'Hospitalovo pravidlo; věta o limitě derivací.

6.3. Taylorův polynom
Nutný tvar Taylorova polynomu, Lagrangeův tvar zbytku, Peanův tvar zbytku (malé o). Aritmetika malých o. Počítání limit pomocí Taylora, Taylor pro základní funkce. Poznámky o Taylorově řadě a důkaz vztahu mezi komplexní exponencielou a goniometrickými funkcemi.

6.4. Konvexita, konkávita a průběh funkce
Pojem (ryzí) konvexity a (ryzí) konkávity. Různé definice. Důkaz A-G nerovnosti s využitím konkávity logaritmu. Vztah znaménka druhé derivace a konvexity. Inflexní bod. Vztah inflexního bodu a druhé derivace v bodě. Věta o (n-1) nulových derivacích v bodě a n-té nenulové.

7. Riemannův a Newtonův určitý integrál

7.1. Definice a základní vlastnosti
Dělení, norma dělení, zjemnění dělení, dolní a horní součet a jeho chování, dolní a horní integrál, Riemannův integrál. B-C podmínka pro Riemannův integrál. Monotonní funkce má Riemannův integrál. Spojitá funkce na uzavřeném intervalu má Riemannův integrál. Základní vlastnosti Riemannova integrálu: linearita, monotonie, aditivita vzhledem k intervalu. Integrace přes interval s opačným pořadím bodů.

7.2. Integrál s proměnnou mezí, Newton-Leibnizova formule, Newtonův integrál
Integrál s proměnnou mezí - funkce P(x) plochy pod grafem. V bodech, kde f(x) je spojitá, je P'(x)=f(x). Spojitá funkce má primitivní funkci. Newton-Leibnizova formule. Definice Newtonova integrálu.

7.3. Per partes, substituce, věty o střední hodnotě
Per partes, dvě věty o substituci, dvě věty o střední hodnotě. Příklady.

7.4. Aplikace určitého integrálu
Přesunuto do letního semestru.

Doporučená literatura

Zkušenost sice praví, že student se nejvíce učí z [9], ale občas je potřeba mít po ruce i nějaké to skriptum... Minimální výbavou by měla být Kopáčkova skripta [1], jejichž obsah je nejblíže průběhu přednášky, a Kopáčkova příkladová skripta [2]. Klasické knihy [3] a [4] jsou spíše pro studenty matematiky, ale jejich prolistování neublíží ani fyzikovi, který je zvědavý na klasické učebnice analýzy. Rudinova kniha [5] je pro ty, kteří by se chtěli pocvičit v angličtině a zárověň se podívat, jak se analýza učí jinde. Kniha [8] je taky v angličtině, je naopak určena cizím studentům, kteří se chtějí podívat, jak se to učí tady. Demidovič [6] je nepřebernou zásobárnou příkladů. Letos (2003) vyšel konečně i česky.

Kopáček, J.: Matematika pro fyziky I. (skriptum MFF UK, nové vydání = formát A5).
Kopáček, J. & kol.: Příklady z matematiky pro fyziky I., (skriptum MFF UK, nové vydání = formát A5).
Jarník, V.: Diferenciální počet 1, Academia Praha.
Jarník, V.: Integrální počet 1, Academia Praha.
Rudin, W.: Principles of mathematical analysis (second edition) , McGraw-Hill, 1964.
Děmidovič, B.P.: Sbornik zadač i upražněnij po matěmatičeskomu analizu Nauka, Moskva, 1977. V českém překladu: nakladatelství Fragment, 2003.
Souček, V.: Matematická analýza pro fyziky 1, učební text na webu, viz http://www.karlin.mff.cuni.cz/~soucek
Černý, I, Rokyta, M.: Differential and Integral Calculus of One Real Variable. Nakladatelství UK (Karolinum), 1998.
... vlastní (nebo kamarádovy/kamarádčiny) poznámky z přednášky.